Лекции.ИНФО


Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек, равноудалённых от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах.

Определение. Геометрическое место точек – фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, обладающих определённым свойством.

Теорема. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, то есть прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Доказательство.

Пусть точка C равноудалена от A и B. Отметим точку M – середину отрезка AB. Треугольники ACM и BCM равны по трём сторонам. Углы AMC и BMC равны и дают в сумме развёрнутый угол. Значит, они оба равны 90°.
Мы доказали, что все точки, равноудалённые от двух данных точек, лежат на серединном перпендикуляре.

2) Пусть точка C лежит на серединном перпендикуляре к AB. Треугольники AMC и BMC равны двум катетам, значит, AC=BC.
Мы доказали, что все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от его концов.

Таким образом, геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, и серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, совпадают.

Теорема доказана.

A (0; 0), B (a; 0), C (x; y). AC=CB.

2) Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площади кругового сектора.

Определение. Круг – это множество точек плоскости, расположенных на расстоянии не более данного от данной точки.


 

 

БИЛЕТ 8

1)Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника, прямая Эйлера (без доказательства).

Определение. Треугольник – это фигура, состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и 3 отрезков, попарно соединяющих их.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство.

Проведём через вершину B прямую a, параллельную стороне AC.
как накрест лежащие.
. Тогда .

Теорема доказана.

Теорема. Центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести, а также центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Расстояния между двумя точками через координаты этих точек (рассмотреть все случаи).

Проведём a и b, .

Т.к. треугольник прямоугольный,

 

 

БИЛЕТ 9

Признаки равенства прямоугольных треугольников

 

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

1) По двум катетам (из I первого признака)

2) По катету и острому углу (из II первого признака)

(так как по противолежащему углу однозначно определяется прилежащий)

3) По гипотенузе и острому углу

Доказательство.

В таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к

ней углам.

Теорема доказана.

4) По гипотенузе и катету

Доказательство.

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых углы C и C1 — прямые, АВ=А1В1, ВС=В1С1.

Так как ∠C=∠C1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина С совместится с вершиной C1, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С1А1 и С1В1. Поскольку СВ=С1В1, то вершина B совместится с вершиной В1.
Но тогда вершины А и А1 также совместятся.

В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А2 луча С1А1, то получим равнобедренный треугольник A1B1A2, в котором углы при основании А1А2 не равны (∠А2 — острый, a ∠А1 тупой как смежный с острым углом B1A1C1). Но это невозможно, поэтому вершины А и А1 совместятся.

Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC и AlBlCl , т. е. они равны.

Теорема доказана.

Окружность

Определение. Окружность – это геометрическое место точек, равноудалённых от данной.

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1° равна 2πR/360° = πR/180°.
Поэтому длина l выражается формулой:

 

 

 

БИЛЕТ 10

1) Признаки параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике АВСD стороны АD и СB параллельны и равны. Проведём диагональ АС, делящую параллелограмм на два треугольника: АВС и СDА. Эти треугольники равны по первому признаку, значит, их соответствующие углы равны. Тогда углы BAC и DCA равны как внутренние накрест лежащие при пересечении прямых АB и CD секущей АС, значит, АB||CD. Следовательно, АВСD – параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС данного четырёхугольника АВСD, делящую его на треугольники АВС и СDА. Эти треугольники равны по третьему признаку, поэтому углы АCВ и СAD равны, значит АВ||CD. Т.к. АВ и СD равны и параллельны, то по первому признаку АВСD – параллелограмм.

3.Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся напополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство.

.

Аналогично, .

Противоположные стороны попарно равны, значит, ABCD – параллелограмм.

4.

В параллелограмме удвоенная сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей:

Доказательство.

Воспользуемся теоремой косинусов:

Теорема доказана.









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 763;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная