Лекции.ИНФО


Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.



Тема1

1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

Прямая с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчёта и единицей масштаба называется координатной осью.

 

Расстояние d между точками и на оси:

(1)

Деление отрезка в данном отношении: даны точки и . Координата точки , делящий отрезок в отношении , определяется по формуле:

(2)

В частности при делении отрезка пополам, т.е. в отношении имеем

(3)

Пример 1. Отрезок двумя точками разделён на три равные части. Определить координаты точек деления, если ,

Решение. Пусть ближайшая к точка деления, тогда = Следовательно, по формуле (2) находим:

т.е. .

Пусть теперь точка деления ближайшая к , тогда

=2

и по формуле (2) находим:

т.е.

Ответ: , .

2. Прямоугольная система координат на плоскости.

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оy, имеющие общее начало отсчета О и одинаковую единицу масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости.

Расстояние между точками и на плоскости: . (4)

 

2º Деление отрезка в данном отношении: координаты точки , делящей отрезок между точками и в заданном отношении определяются по формулам:

; (5)

в частности, при делении отрезка пополам, т.е.

; (6)

 

Пример 2.Определите расстояние между точками и .

Решение.Воспользуемся формулой (4), получим:

.

 

Пример 3. Даны вершины треугольника: , и . Найти длину медианы, проведённой из вершины .

Решение.Найдём координаты точки - середины отрезка ; имеем:

; ; .

Вычислим теперь длину медианы :

.

 

Полярные координаты.

В полярной системе координат положение точки на плоскости определяется её расстоянием от полюса ( -полярный радиус вектор точки M) и углом , образованный отрезком с полярной осью Ох ( полярный угол точки). Угол считается положительным при отсчёте от полярной оси против часовой стрелки.

Если начало декартовой системы координат совместить с полюсом, а ось направить по полярной оси, то прямоугольные координаты и точки и её полярные координаты и связаны формулами:

(7)

Пример 4. Найти прямоугольные координаты точки , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Решение.Используя формулу (7) имеем:

, .

Итак,

 

4. Прямоугольная система координат в пространстве.

Три взаимно перпендикулярные координатные оси Ох, Оу, Оz с общим началом О и одинаковой единицей масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат в .

Точка О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Оz - ось аппликат.

Пусть М произвольная точка пространства и - радиус вектор точки М. Проекции радиус вектора на оси координат , , называются прямоугольными координатами точки или вектора . Таким образом, в выбранной системе координат каждой точке соответствует единственная упорядоченная тройка её прямоугольные координаты и обратно, каждой упорядоченной тройка соответствует, и притом одна единственная точка в пространстве .

 

Расстояние между точками и :

(8)

В частности, расстояние точки от начала координаты определяется:

(9)

2º Если отрезок, концами которого служат точки и разделён точкой в отношении , то координаты точки определяются соотношением:

; ; . (10)

 

Пример 5.Даны точки и . Найти координаты точек и , делящих отрезок на три равных части.

Решение. Пусть ближайшая к точка деления, тогда = . Следовательно, по формуле (10) находим:

; ; ;

т.е. .

Пусть теперь точка деления ближайшая к , тогда и по формуле (10) находим:

; ;

т.е. . Ответ: , .

Контрольные вопросы

 

 

1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

2. Прямоугольная система координат плоскости.

3. Полярные координаты.

4. Прямоугольная система координат в .

Задания.

1) Определить расстояние между точками: а) и ; б) и .

2) Найти точку , симметричную точке относительно точки .

3) Найти координаты середины отрезка, если известны его концы: 1) и ; 2) , .

4)Определить расстояние между точками: 1) и ; 2) и .

5) Известны точки , - концы отрезка . Показать, что на этом отрезке находится точка , расстояние которой от точки в два раза больше расстояния от точки .

6) Построить точки, заданные полярными координатами , , , .

7) Определить расстояние между точками и . (Применить к треугольнику теорему косинусов.)

9) Найти полярные координаты точек, симметричных точкам , , : 1) относительно полюса; 2) относительно полярной оси.

10) Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами , и

11) В каком отношении точка равноудалённая от точек и , разделит отрезок от начала координат до точки

12) Даны следующие вершины куба , , и . Определить его остальные вершины.

 

Тема 2.

Определители.

1º Определителем второго порядка

называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством:

 

(1)

Определитель третьего порядка записывается в виде

(2)

 

и определяется равенством

.

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы строками:

2. Общий множитель элементов любой строки (столбца)определителя можно вынести за знак определителя:

 

3. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

 

5. При перестановке двух строк (столбцов) определителя , определитель меняет знак на противоположный

 

6. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одинаковое число.

7. .

 

Площадь треугольника с вершинами , , равен

(3)

 









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 87;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная