Лекции.ИНФО


Касательная и нормаль к кривой.

Если кривая задана в декартовой системе координат уравнением

, то , где - угол между касательной к этой кривой в точке с абсциссой и положительным направлением оси .

Если кривая задана уравнением , то уравнения касательной и нормали к этой кривой в точке имеют соответственно вид:

 

, (1)

. (2)

 

Угол между двумя кривыми и в точке их пересечения определяется как угол между прямыми, касательными к этим кривым в точке их пересечения по формуле

, (3)

где угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения и равны соответственно , .

Пример 1.Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение. Подставляя в заданное уравнение параболы значение , находим ординату точки касания . Находим угловой коэффициент касательной, , следовательно, . Подставляя найденные значение в уравнение (1), имеем уравнение касательной , подставляя эти же значения в уравнение (2), получим уравнение нормали .

Пример 2.Найти углы под которыми пересекаются прямая и парабола .

Решение.Найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений

Отсюда имеем , . Далее, определим угловые коэффициенты касательных к параболе в точках и .Соответственно имеем , . Угловой коэффициент прямой во всех точках один и тот же и равен в нашем случае 2. Далее находим углы ,

.

Пример 3.Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой и написать уравнение этой касательной

, .

Решение. Находим производную . Далее находим значение из уравнения . Имеем, .Значения функции при есть и . Отсюда имеем, и точки заданной линии в которых касательная к этой линии параллельна данной прямой . Найдем теперь уравнения этих касательных. Используя формулу (1), получим

-уравнение касательной в точке ,

-уравнение касательной в точке .

 

Контрольные вопросы.

1.Геометрический смысл производной.

2.Касательная и нормаль к кривой.

3.Угол между двумя кривыми.

4.Другие приложения производной.

 

Задания.

1.Найти углы, под которыми пересекаются эллипс и парабола

, .

2. Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой и написать уравнение этой касательной

1) , ; 2) , ; 3) , .

3.Найти угол между кривой и прямой

Тема 14.

Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл.

Функция - называется первообразной для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка выполняется равенство

или .

Если первообразная для функции , то множество , где произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции и обознается

=

При этом называется подынтегральной функцией.

Процесс отыскания первообразной называется интегрированием.

Свойства неопределённого интеграла:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,где некоторая постоянная,

5. .

6.(Инвариантность формулы интегрирования) Если = ,то и

= .

Пример 1. Найти первообразную функции .

Решение.Рассмотрим функцию => .

Следовательно, первообразная есть

.

 

Таблица основных интегралов:

1. ,

2. при ,

3. ,

4. ,при и , и в частности ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. .

Пример 2.Вычислить интеграл .

Решение.

.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Замена переменной в неопределённом интеграле.

Пусть - первообразная для функции на некотором множестве . Если непрерывно дифференцируемая функция на некотором множестве , то

 

.

Пример 4.Вычислить интеграл .

Решение.

.

Пример 5. Вычислить

Пример 6.Вычислить

Интегрирование по частям.

Пусть и - некоторые непрерывно дифференцируемые функции на некотором множестве .

Формула интегрирования по частям:

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение.Положим , откуда По формуле интегрирования по частям при , имеем

 

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение.Положим

Тогда

Поэтому по формуле интегрирования по частям

К последнему интегралу применяем ещё раз формулу интегрирования по частям, где и

Итак,

 

Контрольные вопросы.

 

1. Первообразная и неопределённый интеграл.

2. Методы интегрирования.

3. Основные свойства неопределённого интеграла.

4.Таблица основных интегралов.

5.Замена переменной в неопределённом интеграле.

6.Формула интегрирование по частям.

 

 

Задания.

1.Вычислить интегралы:

1) , 2) , 3) , 4) .

2.Решить заменой переменной:

1) 2) .

3.Решить рациональные дроби:

1) 2) ; 3) ; 4) .

 

3.Применяя формулу интегрирование по частям, найти интегралы:

1) 2) 3)

4) ; 5) 6) 7) ; 8) .

Тема 15

Определённый интеграл

 

Пусть функция определена на отрезке , . Разобьем этот отрезок на частичных отрезков точками . В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку

 
Сумма - называется интегральной суммой для функции

на отрезке .

 

Предел интегральной суммы

при , который не

зависит ни от способа разбиения

отрезка на частичные отрезки,

ни от выбора точек в них, называется

определенным интегралом

от функции на отрезке

и обозначается

.

 

Свойства определённого интеграла.

1. ,

2. ,

3. .

 

.Формула Ньютона- Лейбница.

Если функция непрерывна на отрезке и функция является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница

.

Пример 1. Вычислить интегралы

а)

б) .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение . .

Пример 3.Вычислить интеграл ( заменой переменной).

 

2.Вычисление площадей плоских фигур.

 

Площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями , , расположенной выше оси Ох ( ), равна :

.

 

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох ( ), то ее площадь может быть найдена по формуле

.

Пусть на отрезке заданны и непрерывны функции такие, что . Площадь фигуры , ограниченной кривыми , , и прямыми вычисляется по формуле:

.

 

Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями

, вычисляется по формуле:

.

 

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , вычисляется по формуле:

 

.

 

Пример 4. Найти площадь плоской фигуры ограниченной линиями

х=0, у=4.

 


Решение.Будем иметь (ед2).

Пример 5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

,

 

 
 
у

Решение.

х
 


3. Вычисление объёмов тел вращения.

Объём тела, полученного вращением вокруг оси Оx, криволинейной трапеции , определяется формулой

.

 

Пример 6. Найти объем тела, образованного вращением

фигуры, ограниченной линиями , , , х=1 вокруг оси Оx,

 
 

 

 


 

Решение.

 

Ответ: .

 

Пример 7. Найти объём тела вращения плоской фигуры

а) вокруг оси Ox,

б) вокруг оси Oy.

Решение.

а) Найдем объем тела вращения вокруг оси OX.

 

 
б)Найдем объём тела вращения вокруг оси OY.

Будем иметь и ,

.

 

 









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 311;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная