Параллельное соединение конденсаторов.

Электростатика

1.1. (2 часа). Электрический заряд. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса. Потенциал. Разность потенциалов.

Существуют два рода зарядов: 1)положительные и 2)отрицательные. Положительные заряды образуются на стеклянной палочке, потертой о шелк, а отрицательные заряды образуются на каучуковой палочке, потертой о мех. Опытным путем (1910 – 1914) американский физик Р.Милликен показал, что электрический заряд дискретен, т.е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда ( ). Электрон ( ) и протон ( ) являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов. Все тела способны электризоваться, т.е. получать избыточный электрический заряд. Электризация может осуществляться различными способами: соприкосновением (трением), электростатической индукцией (наведением) и др. При электризации электризуются оба тела: одно – положительно, другое – отрицательно. Положительная электризация объясняется недостатком электронов в теле, отрицательная – их избытком. В природе выполняется закон сохранения зарядов. В зависимости от концентрации свободных зарядов все вещества делятся на 1)проводники, 2)диэлектрики и 3)полупроводники. Единицей электрического заряда является кулон (Кл). Кулон – это такой заряд, который проходит через поперечное сечение проводника при силе тока 1А за время 1с.

Закон Кулона. Закон взаимодействия неподвижных точечных зарядов экспериментально установлен в 1785г. Ш.Кулоном с помощью крутильных весов, подобных тем, которые использовались Г.Кавендишем для определения гравитационной постоянной. Точечный заряд–это такой заряд, который сосредоточен на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других зарядов. Сила взаимодействия (F) между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна величинам этих зарядов (Q₁ и Q₂) и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (1) в векторной форме: ; (2) где - радиус вектор, соединяющий заряд с зарядом ; - действует на заряд1. - коэффициент пропорциональности, ; -электрическая постоянная вакуума, или ( ), фарада – единица электроемкости. Точность закона проверена в большом интервале расстояний.

Напряженностью электростатического поля в данной точке называется величина, равная отношению силы, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда.

; (3) для точечного заряда . (4) Вектор направлен в ту же сторону, что и сила.

Рис.1

; Линия напряженности – линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением напряженности в данной точке.

Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности.

Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) электростатических полей.

Поток вектора напряженности:

Единица потока вектора напряженности электрического поля - вольт·метр (В·м).

Для некоторых распределений зарядов расчет электрического поля ( ) упрощается путем использования теоремы Гаусса.

Теорема Гаусса для вектора и ε = 1(вакуум).

Теорема Гаусса:

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленная на ε_о.

Если имеется система дискретных зарядов, то .

Для непрерывного распределения зарядов

Потенциал электростатического поля.

Поля, в которых работа силы (созданной полем) по замкнутой траектории равна нулю называются потенциальными. Это – электростатическое и гравитационное поля.

Рис.2

Определение I: Потенциалом поля в данной точке называется величина, равная отношению потенциальной энергии заряда в этой точке, к величине этого заряда.

. (5)

Определение II : Потенциалом поля в данной точке называется величина, равная отношению работы по перемещению положительного пробного заряда из данной точки поля в бесконечность, к величине этого заряда.

(6)

Разность потенциалов.

Разностью потенциалов двух точек поля называется величина, равная отношению работы по перемещению положительного пробного заряда из одной точки поля в другую, к величине этого заряда.

(7)

Потенциал, созданный шаром (равномерно заряженным по поверхности)

где от до .

Рис.3

Поле равномерно заряженной плоскости:

(8)

(9)

Рис.4

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра:

(10)

(11)

Лекция 2

1.2. (2 часа) Диэлектрики в электростатическом поле. Диполь. Дипольный момент. Вектор поляризации. Вектор электрического смещения( электрической индукции). Теорема Гаусса для вектора D. Уравнение Пуассона. Условия на границе раздела двух сред.

Два вида диэлектриков:

( ) ( )

1. Полярные –это такие диэлектрики, 2. Неполярные – это такие диэлектрики,

у которых центры положительных и у которых центры положительных и от-

отрицательных зарядов внутри моле- рицательных зарядов совмещены (ε <3).

кул разделены (ε >3).

противоположных по знаку электри- совмещен с центром положительного за-

ческих зарядов. ряда (ядра).

3. Эту группу составляют вещества, молекулы которых имеют ионное строение (ионные кристаллы). Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать их можно как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток (разного знака). (ε >3).

Поляризация диэлектриков.

Рис.5

В полярных диэлектриках диполи поворачиваются, а в неполярных и ионных – заряды смещаются.

(12) ε – диэлектрическая проницаемость, показывающая во сколько раз внешнее электрическое поле больше поля внутри диэлектрика. (бумага ε = 6, вода ε = 81, полипропилен ε = 2,5).

Закон Кулона:

(13)

Рис.6

Электрический момент диполя: (14)

Дипольный момент: (15) или: - этот вектор направлен перпендикулярно плоскости векторов и , так что из конца вектора вращение от к по кратчайшему пути видно происходящим против часовой стрелки.

Поляризованностью называют дипольный момент единицы объема диэлектрика:

(16)

Для большинства диэлектриков (за исключением сегнетодиэлектриков) поляризованность линейно зависит от напряженности поля (Е). Если диэлектрик изотропный и не слишком велико, то

(17) где χ – диэлектрическая восприимчивость вещества:

χ + 1 = ε, (18) величина безразмерная, причем χ >0. Поляризованность проявляется образованием на поверхности диэлектрика связанных зарядов. Поверхностная плотность ( ) связанных зарядов равна поляризованности (р). Вектор электрического смещения (поляризации) для электрически изотропной среды:

(19) или . (20)

Единица электрического смещения - Вектором описывается электрическое поле, созданное связанными зарядами.

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появление под действием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей.

Вектор аналогично изображается с помощью линий электрического смещения, направление и густота которых определяется точно так же, как и для линий напряженности.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора сквозь эту поверхность:

, (21) где - проекция на нормаль к площадке dS.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:

(22) или упрощенно или D=σ.

Для электростатического поля в вакууме дифференциальное уравнение, называемое уравнением Пуассона:

(23) где оператор Лапласа:

(24) ρ – объемная плотность заряда. В среде , φ – потенциал поля.

Если в среде нет свободных зарядов, то - уравнение Лапласа.

Условия на границе раздела двух сред: пусть ε₂ > ε₁

Рис.7

отсюда (25)

На границе двух сред нет свободных зарядов, тогда Е_n₂ < E_n_1, т.к ε₂ > ε₁.

Лекция 3.

1.3.(2часа) Проводники в электростатическом поле. Распределение зарядов на проводнике. Электрическое поле внутри и вне проводника. Электростатическая защита.

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действовать электростатическое поле, в результате чего они начнут перемещаться, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. Если поле внутри проводника не было бы равно нулю, то под действием этого поля заряды пришли бы в движение без внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. Равенство нулю электрического поля внутри проводника приводит к тому, что потенциал поля внутри проводника одинаков (φ = const). Поверхности, которые имеют одинаковый потенциал, называются эквипотенциальными. Отсюда следует, что в любой точке проводника любой формы в каждой его точке вектор напряженности поля на внешней поверхности перпендикулярен к этой поверхности. Если бы было не так, то под действием составляющей напряженности вдоль этой поверхности заряды пришли бы в движение, что противоречит равновесному распределению зарядов.

Если проводнику сообщить некоторый заряд, то он распределится по поверхности проводника, внутри же проводника зарядов так же не будет.

Взаимосвязь между напряженностью Е поля вблизи поверхности заряженного проводника и поверхностной плотностью σ зарядов на его поверхности в соответствии с теоремой Гаусса будет:

(26)

или (27) где ε – диэлектрическая проницаемость вещества.

Согласно этой формулы Е и σ связаны вблизи проводника любой формы. Из формулы и формулы (27) вытекает, что плотность зарядов и напряженность поля на одном и том же проводнике там больше, где кривизна поверхности (1/R) больше, или R меньше.

Если во внешнее электростатическое поле внести нейтральный проводник, то свободные заряд придут в движение и будут двигаться до поверхности проводника.

Эти заряды называются индуцированными. Напряженность внутри проводника будет равна нулю. Явление образования индуцированных зарядов называется электростатической индукцией. По формуле (26) электрическое смещение вблизи проводника численно равно поверхностной плотности смещенных электрических зарядов, поэтому вектор получил название вектора электрического смещения. Применение явления – электростатическая защита – густая металлическая сетка (экранирование приборов, установок, людей).

Рис.8

Лекция 4.

1.4. (2часа). Электрическая емкость. Конденсаторы. Энергия электрического поля. Плотность энергии электростатического поля.

Понятие электроемкости уединенного проводника такое же как и для двух проводников. В этом случае электроемкостью двух проводников называется отношение заряда на одном из проводников к разности потенциалов между этими проводниками.

(28) где С – емкость; q – заряд; U – разность потенциалов.

Единицы электроемкости

1 мкФ = 10^-6Ф 1nФ = 10^-12Ф

Электроемкость шара.

~ r.

Емкость земного шара Емкость Солнца: 0,2Ф.

Конденсаторы – устройства для накапливания электрических зарядов, изобретались как устройства, обладающие большой емкостью.

Конденсатор – устройство, состоящее из двух пластин, разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами пластин.

Рис.11 Зарядка конденсатора

Рис.12

Под зарядом конденсатора понимают заряд одной из его пластин.

Электроемкость плоского конденсатора:

(29)

Измерение диэлектрической проницаемости

(30)

Лекция 5.

Плотность тока.

Рис.15

- плотность тока; (36)

v (37)

v Из формул (36) и (37) получим

. (38)

Сторонние силы – это силы любого неэлектрического происхождения, выполняющие функцию разделения зарядов внутри источника тока. Природа сторонних сил: 1) в электрических генераторах – это магнитные силы, 2) в гальванических элементах (Вольта) – химические силы (медь, цинк), цинк – «-», раствор – «+». Роль источника тока в электрической цепи, образно говоря, такая же, как роль насоса в гидравлической системе.

Электродвижущая сила. ЭДС в замкнутом контуре представляет собой отношение работы сторонних сил при разделении зарядов внутри источника тока к величине этого заряда (одного знака). Но работа сторонних сил затрачивается на работу электрического поля вдоль замкнутого контура При расчете электрических цепей ЭДС считается положительной, если при обходе контура движение внутри источника осуществляется от его «минуса» к «плюсу».

Закон Ома для полной цепи.

Рис.16

- закон Ома для полной цепи, здесь (39)

R – внешнее сопротивление;

r – внутреннее сопротивление.

Закон Ома для участка цепи.

(40)

R – сопротивление, Ом;

- проводимость; сименс (См).

Удельное сопротивление: ρ;

(41)

В «Си» =Ом·м; ρ(меди)= Ом·м.

Лекция 6.

Лекция 7

Магнитное поле

3.1 (2часа) Магнитное поле тока. Законы Био-Савара-Лапласа и Ампера. Сила Лоренца. Вектор магнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

В пространстве, где протекает электрический ток и находятся постоянные магниты образуется силовое поле, называемое магнитным полем. Название «магнитное поле» возникло при наблюдении ориентации магнитной стрелки под действием этого поля.

Свойства магнитного поля: 1) Магнитное поле создается током (движущимися зарядами); 2) Магнитное поле обнаруживается по действию на электрический ток.

Рис.23

Изучение магнитных полей проводят с помощью 1)рамки стоком, 2)магнитной стрелки. Используют правило буравчика.

За направление магнитного поля принимают направление, в котором устанавливается 1)ось магнитной стрелки от S к N или 2)нормаль к плоскости рамки, определяемая по правилу буравчика (правого винта).

Правило: за положительное направление нормали принимают направление поступательного движения винта, рукоятка которого вращается в направлении тока, протекающего в рамке. Вращающий момент, действующий на рамку: , где - вектор магнитного момента рамки с током, - вектор магнитной индукции. Для плоского контура с током: , где S – площадь поверхности контура (рамки), - единичный вектор нормали. (Направления и совпадают).

Характеристикой поля может служить магнитная индукция:

(51)

Магнитной индукцией поля называется отношение максимального вращающего момента к магнитному моменту, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Вектор может быть получен по закону Ампера и из выражения для силы Лоренца.

Линии магнитной индукции – линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора магнитной индукции. Их направление определяется с помощью рамок с током и с помощью магнитных стрелок.

Линии магнитной индукции можно проявить с помощью магнитных стрелок. Свойства линий магнитной индукции: они всегда замкнуты, они нигде не пересекаются, они расположены там гуще, где магнитное поле сильнее, для постоянных магнитов они выходят с из северного полюса и входят в южный.

Магнитное поле – вихревое поле. Магнитных зарядов, подобных электрическим, нет.

Магнитные свойства вещества объясняются циркуляционными токами, протекающими в атомах веществ, они создают свое магнитное поле и могут поворачиваться по отношению к внешнему полю, полю макротоков. Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности магнитного поля .

, (52)

где - магнитная постоянная,

μ – магнитная проницаемость среды, ед, безразмерная величина, она показывает во сколько раз магнитное поле в среде больше чем вне среды,

- вектор напряженности магнитного поля, ,

- индукция магнитного поля, .

, (53)

- индукция магнитного поля вне среды (вакуум),

- связь и Н (индукции и напряженности).

Закон Био-Савара-Лапласа(французские ученые) получен (рис.22) для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А индукцию поля , записывается в виде:

, (54) где - вектор по модулю равный длине dl провода и совпадающий по направлению с током,

- радиус- вектор проведенный из элемента dl проводника в точку А поля,

r – модуль радиуса –вектора .

Направление перпендикулярно и , т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат.

Рис.24

Модуль вектора определяется выражением:

. (55)

Для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции: вектор магнитной индукции результирующего поля, создаваемого несколькими токами (или их элементами, а также движущимися зарядами) равен векторной сумме магнитных индукций, создаваемых этими токами (или их элементами, а также движущимися зарядами):

. (56)

Расчет характеристик магнитного поля ( и по приведенным формулам в общем случае сложен.. Однако, если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля.

Лекция 8

Рассмотрим два примера:

1. Магнитное поле прямого тока – тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины.

Рис.25

В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R. Сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выбираем угол α (между и ), выразив через него все остальные величины.

Из рисунка:

, (57)

. (58)

Подставляя эти величины в (43) закон Био-Савара-Лапласа, получим:

. (59)

α меняется от 0 до π, поэтому:

. (60)

Лекция 9

3.2.(2часа) Магнитные свойства вещества. Молекулярные токи. Диа -, пара – и ферромагнетики. Вектор намагниченности. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость. Представление о ядерном магнитном резонансе и электронном парамагнитном резонансе.

Магнитные моменты электронов и атомов. Все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются. С точки зрения строения атомов, электрон, движущийся по круговой орбите обладает орбитальным магнитным моментом:

(74) его модуль

(75) где - сила тока,

- частота вращения,

S – площадь орбиты.

Направление вектора определяется правилом буравчика. Электрон, движущийся по орбите, обладает также механическим моментом импульса , модуль которого

- орбитальный механический момент электрона. (76) где ,

Направления и противоположные, т.к. заряд электрона отрицательный. Из (75) и (76) получим

(77) где - гиромагнитное отношение. (78)

Формула справедлива и для некруговых орбит. Экспериментально величину g определили Эйнштейн и де Гааз (1915). Оно оказалось равным , т.е в два раза большим, чем (78). Тогда было предположено, а в последствии доказано, что кроме орбитальных моментов электрон обладает собственным механическим моментом импульса , называемым спином. Спину электрона соответствует собственный (спиновый) магнитный момент : . Величина называется гиромагнитным отношением спиновых моментов. Проекция собственного магнитного момента на направление вектора может принимать только одно из следующих двух значений ±еħ/2m= , где ħ= , h – постоянная Планка, - магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента электрона. Общий магнитный момент атома (молекулы) равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) электронов: .

Диа – и парамагнетизм. Всякое вещество является магнетиком, т.е. оно способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент, т.е. намагничиваться.

Рис.29

Если орбита электрона ориентирована относительно вектора внешнего поля произвольным образом, составляя с ним ےα, то орбита и вектор придут во вращение, которое называется прецессией (движение волчка). Прецессионное движение эквивалентно току. Наведенные составляющие магнитных полей атомов складываются и образуют собственное магнитное поле вещества, которое накладывается на внешнее магнитное поле и внутри магнетика образуется результирующее магнитное поле.

Диамагнетики – это такие вещества, в которых уменьшается магнитное поле. Для них магнитная проницаемость немного меньше 1 составляет μ ≈ 0,999935. (Объясняется действием правила Ленца). Диамагнетизм свойственен всем веществам.

Парамагнетики – вещества, в которых увеличивается магнитное поле при действии внешнего поля, для них μ больше 1, например, μ ≈ 1,00047. К парамагнетикам относятся редкоземельные элементы: Pt, Al, CuSO₄ и т.д. Объясняется ориентацией орбитальных и спиновых магнитных моментов атомов в магнитном поле. При прекращении действия внешнего магнитного поля ориентация разрушается тепловым движением атомов и парамагнетик размагничивается. Магнитная проницаемость парамагнетиков превышает таковую для диамагнетиков.

Для количественного описания намагничивания магнетиков вводят векторную величину – намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика:

(79) где - магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул. Вектор результирующего магнитного поля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля и поля микротоков (молекулярных токов) : , отсюда В несильных полях намагниченность пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничивание, т.е. , где χ –магнитная восприимчивость вещества. Для диамагнетиков она отрицательна, для парамагнетиков – положительна. Из вышеприведенных формул: Здесь , используя эту формулу придем к известной формуле

Явление электронного парамагнитного резонанса было открыто в Казани в 1945 году ученым Е.К.Завойским, сотрудником Казанского университета. Сущность явления заключается в резонансном поглощении высокочастотного электромагнитного поля при его воздействии на парамагнитное вещество, которое находится в постоянном магнитном поле. При этом частота Ларморовой процессии спинов электронов совпадает с частотой внешнего электромагнитного поля и электрон поглощает эту энергию.

Магнитные моменты ядер атомов значительно слабее магнитных моментов электронов, поэтому ядерный магнитный резонанс был открыт позже, чем электронный, 1949 году в США. Процесс аналогичен электронному, но получил более широкое применение для исследования веществ. Вершиной этого применения является создание ЯМР – томографов.

Ферромагнетики. К ним относятся: железо, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и соединения. μ>>1, составляет несколько тысяч.

Рис.30

I_нас – магнитное насыщение.

При насыщении ориентируется все большее количество магнитных моментов.

Рис.31

Характерной особенностью ферромагнетиков является то, что для них зависимость I от Н (а следовательно В от Н) имеет вид петли, которая получила название петли гистерезиса: 0 – размагниченный; 1 – насыщение ( ); 2 – остаточная намагниченность ( ), постоянные магниты; 3 – размагничивание ( – коэрцитивная сила); дальше – повторяется.

Ферромагнетики с малой коэрцитивной силой называются 1)мягкими, а с большой коэрцитивной силой – 2)жесткими. Первые применяются для сердечников трансформаторов и электрических машин (двигателей и генераторов), вторые – для постоянных магнитов. Точка Кюри – температура, при которой ферромагнетик теряет магнитные свойства и превращается в парамагнетик. Процесс намагничивания ферромагнетиков сопровождается изменением их линейных размеров и объема. Это явление получило название магнитострикция. Ферромагнетики имеют доменную структуру: микроскопические объемы, в которых магнитные моменты ориентированы одинаково. В ненамагниченном состоянии магнитные моменты доменов направлены хаотично и результирующее поле равно нулю. При намагничивании ферромагнетика магнитные моменты доменов скачкообразно поворачиваются и устанавливаются вдоль поля и ферромагнетик намагничивается. Как только сориентируются все домены, так намагниченность достигает насыщения. При остаточной намагниченности ( ) – ориентированы часть доменов.

Существуют антиферромагнетики (соединения MnO, MnF₂, FeO, FeCl₂).

В последнее время большое значение приобрели ферриты – полупроводниковые ферромагнетики, химические соединения типа , где Ме – ион двухвалентного металла (Mn, Co, Ni, Cu, Zn, Cd, Fe). Они обладают заметными ферромагнитными свойствами и большим удельным электрическим сопротивлением (в миллионы раз больше чем у металлов). Нашли широкое применение в электротехнике и радиотехнике.

Лекция 10.

Взаимная индукция.

Рис.32

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒