Лекции.ИНФО


Алгебраические критерии устойчивости



 

Алгебраические критерии позволяют непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения судить об устойчивости систем. Различные формы таких критериев рассматриваются в курсе высшей алгебры. В теории управления наибольшее применение из алгебраических критериев устойчивости получили критерий Рауса и критерий Гурвица.

Критерий Рауса.

Линейная система, характеристический полином которой равен

,

где a0>0, устойчива, если положительны все элементы первого столбца следующей таблицы

(5.7)

В первой строке таблицы Рауса расположены четные коэффициенты характеристического полинома, во второй - нечетные. Если степень характеристического полинома - четное число, то последний элемент второй строки равен нулю. Третья и последующие строки определяются следующим образом:

сij = сi-1,1´сi-2,j+1 - сi-2,1´сi-1,j+1; сi,L = 0 ;

i = 3, 4, ... , n+1; j = 1, 2, ... , L-1; L = [0.5´n]+1.

Знак [ ] означает целую часть числа.

 

Критерий Гурвица.

Линейная система, характеристический полином которой равен

,

где a0>0, устойчива, если положительны n главных определителей матрицы Гурвица:

(5.8)

 

Порядок составления матрицы Гурвица следующий. На главной диагонали записываются все коэффициенты, начиная с первого. Далее заполняются строки: четными коэффициентами по порядку, если на главной диагонали стоит четный коэффициент, и нечетными, если на главной диагонали стоит нечетный коэффициент. Если какой-либо коэффициент отсутствует, то вместо него заносится нуль.

Для оценки устойчивости системы необходимо вычислить определители Гурвица Di (i = 1, 2, ... , n), которые получают из матрицы (5.8) путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.

Система устойчива, если Di > 0 для всех i = 1, 2, ... , n.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен

Dn = an ´ Dn-1.

Поэтому его положительность сводится при Dn-1>0 к условию an>0,

Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai.

Если определитель Dn=0, то система находится на границе устойчивости. Возможны два случая: апериодическая граница устойчивости, если свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе; колебательная граница устойчивости, если определитель Dn-1=0. Из условия Dn-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.

 

Пример. Передаточная функция разомкнутой системы задана в виде: . Исследовать устойчивость системы.

Решение. Характеристическое уравнение замкнутой системы

D(p)=0, где .

Откуда следует

.

Раскрыв скобки, получим

 

T1T2p3 + (T1 + T2)p2 + p + k = 0.

 

Тогда имеем: a0 = T1 T2 ; a1 = (T1 + T2); a2 = 1; a3 = k.

Коэффициенты характеристического уравнения положительны.

Составляем матрицу Гурвица

и найдем определители этой матрицы. Для устойчивости системы все они должны быть положительными:

D1 = a1, откуда (T1 + T2) > 0;

D2 = a1´a2 - a0 ´a3, откуда (T1 + T2) - kT1T2 > 0;

D3 = a1´a2´a3 - a0´a32 = a3( a1´a2 - a0´a3 ), откуда a3 >0 , то есть k > 0.

 

Условие устойчивости по критерию Гурвица получает вид

(T1 + T2) > kT1T2 или k < ( + ).

Границы устойчивости:

1) an = 0, k = 0;

2) Dn-1 = 0, kгр = ( + );

3) a0 = 0, T1T2 = 0.

 

Эти три границы устойчивости можно изобразить графически в пространстве параметров k, T1, T2 и найти области устойчивости системы.

Найдем сначала область устойчивости системы по одному параметру k (общий коэффициент передачи разомкнутой системы). Пространство параметров здесь одна прямая линия, а границы устойчивости - точки на ней: k = 0 и k = kгр (рис.5.6). Область устойчивости лежит между этими точками.

 

 

Рис. 5.6. Область устойчивости по одному параметру

 

Те же границы устойчивости системы можно построить на плоскости двух параметров, например: k и T1 (рис.5.7). Первая граница k = 0 лежит на оси T1. Вторая граница = k - имеет вид гиперболы с асимптотами k = 0 и k = . Третья граница T1 = 0 совпадает с осью k. Штриховка границ сделана в сторону области устойчивости.

Рис. 5.7. Область устойчивости по двум параметрам

 

Как видно, при увеличении постоянных времени T1 и T2 область устойчивости сужается. Отрицательно влияет на устойчивость также и увеличение общего коэффициента передачи разомкнутой системы k. При любых заданных T1 и T2 существует свое граничное значение общего коэффициента передачи kгр, после чего система становится неустойчивой.

Далее можно построить область устойчивости и в пространстве трех параметров k, T1, T2. Границами устойчивости здесь будут являться три координатные плоскости и криволинейная поверхность, сечениями которой как в вертикальных так и в горизонтальных плоскостях будут гиперболы.

 









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 122;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная