Лекции.ИНФО


Характеристики систем в пространстве состояний



 

Характеристики системы показывают ее принципиальные возможности. Эти возможности в значительной степени выявляются при изучении свойств системы, которые принято называть устойчивостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью, управляемостью и адаптируемостью. Часто между наблюдаемостью и идентифицируемостью не делают различий, а адаптируемость рассматривается как частный случай управляемости.

Управляемость и наблюдаемость, так же как и устойчивость, относятся к числу важнейших характеристик динамических систем. Если устойчивость характеризует свойство системы возвращаться после возмущения в положение равновесия, то управляемость характеризует возможность изменения состояния системы с помощью входных сигналов, а наблюдаемость - возможность определения состояния системы по наблюдениям за ее выходными сигналами.

Устойчивость системы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей собственных чисел li матрицы А

 

Reli<0; i = 1, 2, ... , n, (10.25)

 

где li - корни характеристического уравнения çA-lEç= 0;

n - порядок системы.

Для того чтобы оценить расположение спектра матрицы A относительно мнимой оси, необходимо раскрыть характеристический определитель çA-lEç и получить характеристическое уравнение n-ой степени относительно l

çA-lEç= a0ln +a1ln-1 + a2ln-2 +...+ an-1l +an = 0. (10.26)

 

После получения характеристического уравнения в виде (10.26) обычно применяется тот или иной из известных критериев устойчивости, например, Рауса, Гурвица или Михайлова либо производится непосредственное вычисление всей совокупности корней, что в случае высокого порядка n матрицы A сопряжено со значительными трудностями и возможно лишь с помощью ЭВМ.

Кроме того, разработаны матричные критерии, позволяющие оценить устойчивость системы непосредственно по матрице A без нахождения характеристического полинома [14].

Для того чтобы система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы

 

G=E-2(E-A)-1

выполнялось условие

Gk®0, при k®¥. (10.27)

 

Выполнимость необходимого и достаточного условия устойчивости можно установить по факту абсолютного убывания элементов матрицы Gk. Возведение матрицы в степень рекомендуется выполнять так, чтобы каждая последующая матрица являлась квадратом предыдущей.

Управляемость системы. Система называется управляемой, если для любого начального состояния X(0)ÎRn существует управление U(t), переводящее ее за конечное время T в нулевое состояние X(T)=0 или система управляема, если существует управляющее воздействие U(t), позволяющее перевести ее за конечное время T в любое наперед заданное состояние из пространства состояний X(T)ÎRn.

Наблюдаемость системы. Система называется наблюдаемой, если по наблюдениям за выходным сигналом Y(t) в течение конечного времени T можно определить ее начальное состояние X(0).

Простые критерии проверки управляемости и наблюдаемости системы основаны на анализе матрицы управляемости

K=[B AB A2B ... An-1B] (10.28)

 

и матрицы наблюдаемости

 

L=[CT (CA)T (CA2)T ... (CAn-1)T]. (10.29)

Необходимым и достаточным условием управляемости системы является невырожденность матрицы управляемости

 

det K¹0, (10.30)

 

что эквивалентно условию равенства ранга матрицы К порядку n системы, то есть rank K = n. Если rank K < n, то система не полностью управляемая; если rank K = 0 - система полностью неуправляемая.

Необходимым и достаточным условием наблюдаемости системы является невырожденность матрицы наблюдаемости

 

det L¹0. (10.31)

 

что эквивалентно условию равенства ранга матрицы L порядку n системы, то есть rank L = n. Если rank L < n, то система не полностью наблюдаема.

Таким образом, управляемость системы определяется свойствами пары матриц A и B, а наблюдаемость - свойствами пары матриц A и C. Устойчивость системы определяется свойствами только одной матрицы A.

Пример. Оценить принципиальные возможности системы автоматического управления, заданной матрицами:

, , , D=[0].

 

Решение. Характеристический определитель матрицы A

 

.

Решая уравнение , находим собственные числа матрицы А: l1=2, l2 = -1, l3 = -1.

Система неустойчива, так как l1=2>0.

Матрица управляемости

 

, det K=1-1=0, следовательно, система неуправляема.

 

Матрица наблюдаемости

 

, det L=1-1=0, следовательно, система ненаблюдаема.

 









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 65;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная