Лекции.ИНФО


Нормальная форма уравнений в пространстве состояний



 

Нормальная форма уравнений в пространстве состояний получается из стандартной формы (10.1) посредством преобразования подобия. При этом предполагается, что собственные числа матрицы А различные.

Введем линейное преобразование

 

X=MQ, (10.32)

 

где М - модальная матрица матрицы А.

Уравнения (10.1) перепишем

 

. (10.33)

 

 

Умножив первое уравнение из (10.33) слева на М-1 , получим

 

. (10.34)

Так как M - модальная матрица, то

 

М-1АМ = L = - диагональная матрица;

где li (при i = 1, 2, ... , n) - собственные числа матрицы А.

Следовательно, можно записать

 

, (10.35)

 

где L=М-1АМ, Вn= М-1B, Cn=CM, Dn=D - матрицы;

Q=[q1,q2,...,qn]T - вектор состояния системы, элементами которого являются новые переменные состояния qi (при i=1, 2, ... , n).

Система (10.35) представляет собой нормальную форму уравнений описания систем управления в пространстве состояний.

Нормальная форма уравнений состояния позволяет декомпозировать многосвязную систему n-го порядка на n взаимонесвязанных систем, при этом дифференциальные уравнения становятся развязанными относительно переменных состояния q1,q2,...,qn, т.е. они имеют вид

, (10.36)

 

где fi - внешнее воздействие на i-ю переменную состояния.

Таким образом, переход к нормальной форме существенно упрощает исследование многосвязных систем.

В случае кратных собственных чисел матрицы A диагональная матрица L заменяется матрицей J, которая строится из клеток Жордана, например,

. (10.37)

Таким образом, из сравнения уравнений (10.1) и (10.35) следует, что при математическом описании одного и того же динамического процесса различному выбору переменных состояния соответствуют различные матрицы системы, управления, наблюдения, связи и различные векторные дифференциальные уравнения, каждое из которых полностью определяет выходную величину системы.

 

Пример. Написать уравнения состояний в нормальной форме для динамической системы, представленной на рис.10.3.

Рис. 10.3. Структурная схема системы в переменных состояния

Решение. Выберем в качестве переменных состояния системы сигналы на выходах интеграторов x1 и x2. В этом случае структурной схеме (рис.10.3) соответствует следующая система уравнений (стан-дартная форма)

Откуда матрицы

 

, , , D=[2].

 

Собственные числа матрицы A: l1= -1, l2= -2.

 

Модальная матрица M= и M-1= .

 

Тогда диагональная матрица системы, матрица управления, матрица наблюдения и матрица связи будут

 

L= , Вn= М-1B= , Cn=CM=[-1 -1], Dn=D=[2].

Отсюда получаем уравнения состояний системы в нормальной форме

,

которым соответствует структурная схема системы, приведенная на рис.10.4.

Рис. 10.4. Структурная схема системы в переменных состояния

по полюсам

 

Управление по состоянию. Системы управления

Состоянием

 

Подключение дополнительных контуров обратной связи в многоконтурных системах обеспечивает повышение качества управления. Наиболее полная информация об управляемом объекте содержится в переменных состояния. Управление по состоянию предусматривает введение в структуру системы контуров прямых и обратных связей по переменным состояния объекта управления. При этом задача стабилизации и слежения формулируется как задача поддержания постоянного X* = const или изменяющегося по заданному закону X* (t) состояния объекта управления X* = X* (t).

Изменяющиеся во времени или фиксированные сигналы xi* , определяющие требуемый характер изменения переменных состояния xi , составляют расширенный вектор задания X* = { xi* }, а ошибка движения объекта управления по состоянию определяется вектором отклонения e = X* - X.

Упраление по состоянию, как и управление по выходу объекта управления, может быть разомкнутым: U = F[X*], замкнутым U = F[e], или комбинированным: U = F[e, X*].

Системы с регуляторами состояния относятся к многоконтурным системам и, следовательно, обладают лучшими точностными и динамическими свойствами, чем одноконтурные. Они проектируются для управления как одномерными, так и многомерными объектами управления.

Проанализируем использование линейных регуляторов состояния для решения задач стабилизации и слежения [15].

Рассмотрим задачу стабилизации объекта управления (ОУ) в точке Y* = 0, полагая, что при этом вектор состояния также принимает нулевое значение: X* = 0 (к такому виду задача почти всегда может быть приведена преобразованием координат векторов X и Y).

Простейший регулятор состояния - пропорциональный или модальный регулятор вводит обратные связи по всем переменным xi (рис. 10.5).

 

Рис. 10.5. Структурная схема системы с П-регулятором

 

Модальный регулятор реализует пропорциональный закон управления

U = - K´X , (10.38)

 

где K - матрица коэффициентов обратной связи по состоянию.

Для одномерного объекта управления в качестве координат xi вектора X можно выбрать, например, фазовые переменные y, , ..., y(n-1) , то есть

X = [ x1 x2 ... xn ]T = [ y ... y(n-1) ]T , (10.39)

где ; n - порядок системы.

Тогда K = [ k1 k2 ... kn ]. Выражение (10.38) можно записать в скалярной форме

. (10.40)

 

Первые члены закона управления (10.40) соответствуют описанию ПД-регулятора выхода при y* = 0.

Таким образом, регуляторы состояния являются обобщением ПД-регуляторов, хотя и не содержат в явном виде дифференцирующих звеньев. Выбор коэффициентов k матрицы обратной связи K обеспечивает получение заданных динамических свойств системы.

В условиях действия на объект управления внешних возмущений F точностные показатели качества системы с пропорциональным регулятором состояния ограничены. Снижение установившихся ошибок достигается введением в состав регулятора контуров интегральных обратных связей (рис. 10.6).

 

 

Рис. 10.6. Структурная схема системы с ПИ-регулятором

 

ПИ-регулятор реализует пропорционально-интегральный закон управления

, (10.41)

 

где KI - матрица обратных связей по интегралу от вектора состояния.

Комбинированный регулятор позволяет обеспечить компенсацию возмущения за счет прямых связей по возмущающему воздействию F (рис. 10.7).

 

Рис. 10.7. Структурная схема комбинированной системы по возмущающему воздействию

 

В этом случае закон управления принимает вид

 

U = - K´X + LF´XF , (10.42)

 

где LF - матрица коэффициентов контура связей по F;

XF - вектор, составленный из возмущения F и его производных.

Задача слежения рассматривается как задача отработки расширенного вектора задания X* = X* (t). П-регулятор состояния в следящей системе вырабатывает управляющее воздействие, пропорциональное вектору отклонения e = X* - X, то есть реализует закон управления

U = K´e . (10.43)

 

Для одномерного объекта управления с вектором состояния (10.39) выражение (10.43) можно переписать в скалярной форме

, (10.44)

где xi* = (y(i-1))* .

ПИ-регулятор дополняет структуру системы интегральными связями:

. (10.45)

 

Эффективная компенсация ошибок, вызванных возмущающим воздействием F и изменениями задания X* достигается использованием комбинированного управления (рис. 10.8)

 

U = K´e + LX´X* + LF´XF , (10.46)

 

где LX - матрица коэффициентов контура прямых связей по X*;

X* - расширенный вектор задания;

LF - матрица коэффициентов контура связей по F;

XF - вектор, составленный из возмущения F и его производных.

 

 

Рис. 10.8. Структурная схема комбинированной системы

 

Параметры регуляторов (коэффициенты прямых и обратных связей) определяются как функции параметров c математической модели объекта управления. Поэтому при управлении нестационарным объектом возникает необходимость изменения параметров регулятора в процессе работы системы. Задача настройки регулятора осложняется, когда параметры объекта управления неизвестны или неконтролируемо изменяются. Для управления такими объектами используются адаптивные регуляторы, параметры которых настраиваются с помощью блока адаптации (БА, рис. 10.9).

 

 

Рис. 10.9. Структурная схема адаптивной системы

 

Адаптивный регулятор состояния комбинированного типа содержит настраиваемые контуры обратных связей по состоянию X и прямых связей по расширенному вектору задания X*. Закон управления такого регулятора

U = ´ e + ´ X*, (10.47)

 

где , - матрицы прямых и обратных связей с переменными коэффициентами (параметрами).

Функции блока адаптации заключаются в автоматической настройке параметров регулятора (10.47).

В практике адаптивных систем получили распространение два подхода к настройке параметров.

Первый из них предусматривает включение в состав системы блока идентификатора, осуществляющего вычисление неизвестных параметров объекта управления. Тогда после определения вектора c значения и могут быть найдены по известным, подготовленным заранее, зависимостям

 

= (c) , = (c) . (10.48)

 

Второй подход (безидентификационный) позволяет осуществить настройку контура прямых связей части регулятора (10.47). При этом матрица обратных связей рассчитывается по номинальному значению вектора c и остается неизменной = KO. В качестве источника информации о параметрических ошибках регулятора в блоке адаптации используется сигнал обратной связи по отклонению:

Ue = KO ´ e . (10.49)

 

Блок адаптации осуществляет изменение параметров регулятора до тех пор, пока в системе не установится нулевое значение сигнала обратной связи Ue и, следовательно, значение e будет равняться нулю.

 

 









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 199;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная