Лекции.ИНФО


Формирование системы дифференциальных уравнений



Составляем систему алгебраических уравнений по законам Кирхгофа для узлов а, b и контуров К1, К2, К3 схемынарис.12.

 

Рис. 12

Преобразуем систему уравнений:

из (17) (22)

из (18) (23)

Подставляем (22) и (23) в (19), (20), (21), получаем

 

В (24) проводим замену переменных

и

Получаем искомую систему дифференциальных уравнений второго порядка

 

2.5 Определение корней α1 и α2характеристического
уравнения

В общем случае решение системы уравнений (25) имеет вид (4) и (5). Однако, следует отметить, что входящие в них установившиеся значения величин уже определены (16). Остаются неизвестными только свободные составляющие , значения которых не зависят от величины Е1. Они определяются энергией, накопленной в электрическом поле емкости С и в магнитном поле индуктивности L. Отсюда, система уравнений (25) для свободных составляющих принимает вид:

В математике при решении дифференциальных уравнений используется прием по замене символа дифференцирования на величину , обладающую свойствами числа, тогда

(27)

 

Согласно (27) составляем и раскрываем характеристический определитель

В (28) раскрываем скобки, приводим подобные члены, получаем характеристическое уравнение

В нормальной форме уравнение принимает вид

(29)

где,

.

Здесь δ - коэффициент затухания переходного процесса;

­‑ резонансная частота. В ЭЦ на рис. 9 она наступает при замене источника Е постоянного напряжения на виртуальный источник переменного напряжения частотой .

Находим корни уравнения (29)

Итого: ; . (30)

Корни α1 и α2 вещественные отрицательные, они соответствуют апериодическому затухающему процессу.

2.6 Определение нулей и операционного сопротивления Zвх(p)

Расчет корней , может быть использован для проверки правильности расчета корней . Последовательность преобразований ЭЦ показана на рис.13

 

 

Рис.13

В расчетной схеме ключ остается в положении после коммутации, реактивные элементы представлены сопротивлениями

где р - оператор Лапласа.

Проводим последовательные преобразования:

В результате последовательных подстановок и приведения подобных членов окончательно получаем

где

Числитель приравниваем к нулю

Находим корни квадратного уравнения

Итого: ; (31)

Корни (31) равны корням характеристического уравнения (30)

Отсюда значения корней , можно получить менее трудоемким способом, определив корни

 

2.7 Определение постоянных интегрирования
(корни α1 и α2вещественные)

В уравнении (4) находим постоянные интегрирования и , для этого используем уравнение (4) и его производную

 

Используем известную зависимость

тогда (33)

Записываем уравнения (4) и (32) с учетом (33) при

Подставляем в (34) численные значения (15) и (16)

B, B, A, Ф,

получаем

Решая (35), находим

B, B

Итого, получаем переходный процесс по напряжению на емкости

(36)

Проверяем (36) при

B,

при B.

Полученные результаты соответствуют (15) и (16)

В уравнении (5) находим постоянные интегрирования и

Используем известную зависимость

, (38)

Записываем уравнения (5) и (37) с учетом (38) при

В (39) подставляем численные значения (15) и (16)

A, А, B, Гн,

,

Получаем

(40)

Решая (40), находим

A, A

Итого, получаем переходный процесс по току в индуктивности

(41)

Проверяем (41) при

A,

при А

Полученные результаты соответствуют (15) и (16)

Определение постоянных интегрирования

(корни α1 и α2 комплексно-сопряженные)

В качестве примера рассмотрим некоторую ЭЦ со следующими параметрами

В общем случае зависимость имеет вид:

где , - искомые постоянные интегрирования;

- резонансная частота;

- частота свободных затухающих колебаний;

Производная функции

При уравнения (42) и (43) принимают вид:

(44)

Перепишем (44) в виде:

(45)

где

Делим, левые и правые части уравнений (45);

Находим постоянную интегрирования :

Находим постоянную интегрирования из (45):

Итого, уравнение переходного процесса напряжения на емкости:

(46)

В общем случае зависимость , имеет вид:

, (47)

где - искомые постоянные интегрирования.

Производная функции :

(48)

При уравнения (47) и (48) принимают вид:

(49)

(50)

Перепишем (49) и (50) при в следующем виде:

(51)

, (52)

где

Делим, левые и правые части (51) и (52), получаем:

Находим постоянную интегрирования :

Находим постоянную интегрирования из (51):

Итого, уравнение переходного процесса тока в индуктивности:

(53)

Проверяем уравнения (46) и (53) при и :

Полученные результаты соответствуют (15) и (16).









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 60;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная