Лекции.ИНФО


Общая схема исследования функций и построения графиков



С учетом изложенного выше можно рекомендовать следующую схему исследования функции и построения ее графика.

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность и нечетность;

3) исследовать функцию на периодичность;

4) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;

5) найти критические точки первого рода;

6) найти интервалы монотонности и экстремумы функции;

7) найти критические точки второго рода;

8) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;

9) найти асимптоты графика функции;

10) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);

11) построить график функции.

Пример 1. Построить график функции

.

r1) Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = – 2 и x = 2.

2) Функция нечетна, так как

3) Функция непериодическая.

4) Функция непрерывна во все области ее определения. Точки x = – 2 и x = 2 являются точками разрыва.

5) Находим

.

Очевидно, что при и . Кроме того не существует при . Следовательно, имеет следующие критические точки первого рода:

6) Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (рис. 119). Следовательно, функция f(x) в интервалах и возрастает, а в интервалах убывает.

x

 

В точке функция имеет максимум, а точке — минимум. Так как при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке экстремума нет. Имеем:

и

x       –2            
f(x)   +   +   +
f¢(x) +       +
f¢¢(x)   +   +   +
Выводы   т.м.   т.р.   т.п.   т.р.   т.м.  

 

7) Находим .

Так как при и не существует при , то б и являются критическими точками второго рода.

8) Определяем знак второй производной и каждом из интервалов и (рис. 120).

Мы видим, что интервалах и график функции обращен выпуклостью вверх, а в интервалах и — выпуклость вниз. Вторая производная меняет знак в каждой из критических точек второго рода, однако точки не принадлежат области определения функции и поэтому лишь точка является точкой перегиба с горизонтальной касательной (так как ).

Имеем , следовательно, точкой перегиба является начало координат.

9) Так как и

то и являются вертикальными асимптотами. Далее, находим

,

Следовательно, является наклонной асимптотой.

Результаты исследования заносим в табл. 6. По полученным данным строим график функции (рис.121).

Первая производная пути по времени дает уравнение скорости дви­жения тела, S't — V, а вторая производная St" — а — ускорения. Про­цесс нахождения производной функции называется дифференцирова­нием.

Пример 1.

Найти f (x).

Решение. Выполним деление на х почленно: f(x) - х - х -1/2 + Sinx

 

Применим теорему о производной алгебраической суммы:

Пример 2. Найти у'.

Решение, у' = (x3)'Cosx + x3(cosx)' = 3x2Cosx + x3(–Sinx) = x2(3Cosx – xSinx)

Пример 3. у = (Зх – 6x2 + 8)10. Найти у'.

Решение, у' = 10(Зx - 6х2 + 8)9 • (3x - 6х2 + 8)' = 10(Зx - 6ж2 + 8)9 • (3 - 12х)

Пример 4. У – Sin2x/tg2x. Найти y’

Решение

Пример 5. Построить график функции у = х3 — 6х2 + 9х — 3

Решение.

1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. Д(у) — R

2. Исследуем функцию на четность и нечетность.

Имеем у(-х) = (-x)3 - 6(-x)2 + 9(-x) - 3 = -x3 - 6x2 - 9х - 3 Функция не является ни четной, ни нечетной.

3.Функция не является периодической.

4.Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Чтобы найти точки пересечения с осью Оу, положим x = 0, тогда у =-3. Точки пересечения с осью Ох в данном случае найти затруд­нительно, т.к. при у — 0 x3 — 6x2 4- 9x — 3 = 0.

5.Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Име­ем: у' — Зx2 — 12x + 9; 3x2 — 12x + 9 = 0. Отсюда получаем критические точки x1 = 1, x2 = 3. Эти точки разбивают область опреде­ления функции на интервалы:

<x<1; 1<x<З и 3<x< . Исследуем знак у' в каждом из интервалов. В интервалах - <x <1иЗ<x< , у’>0, т.е. функция возрастает, а в интервале 1< x<3, у’< 0, т.е. функция убывает. При переходе через точку x =1 производная меняет знак с плюса на ми­нус, а при переходе через точку x = 3 — с минуса на плюс. Значит, Уmах = y(1) = 1, Уmiп = y(3) = -3.

6. Найдем интервалы выпуклости графика функции и точки его пе­региба. Имеем: у" = 6х - 12, 6х - 12 = 0, х = 2. Точка х = 2 делит область определения функции на два интервала: - < х < 2 и 2 < х < . В первом из них у" < 0, а во втором у" > 0, т.е. в интервале- < х < 2 кривая выпукла вверх, а в интервале 2 < x < выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2; — 1).


6.Используя полученные данные, строим искомый график (рис.1).

Рис. 1.

 

VI. Неопределенный интеграл

Перед изучением темы необходимо повторить формулы дифферен­цирования функций. Основная задача интегрального исчисления обратна основной задаче дифференциального исчисления и формулируется так: дана функция f(x), требуется найти такую функцию F(x), чтобы dF(x) = f(x)dx, т.е. F'(x) = f(x)

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x). F(x) + С, где С — произвольная постоянная, представляет совокуп­ность всех первообразных для функции f(x) и называется неопреде­ленным интегралом. Обозначается:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. Найти

Решение.Применим подстановку , где z — новая пе­ременная. Возведем обе части в квадрат: 1 + 2х2 = z2. Продифферен­цируем обе части равенства: 4xdx = 2zdz, xdx — z/2dz

Интеграл имеет вид:

Выполним замену , получим

Пример 4. Найти

Решение.Cosxdxесть дифференциал функции Sinx, Cosxdx = dSinx. Поэтому =

Пример 5. Найти

Решение.Положим и — lnx, dv = dx/x2, тогда du = dx/x, dv = dx/x2 - x-2dx - (-l)x-1 = -1/x; v = -1/x

По формуле udv = uv vdu, получим:

VII. Определенный интеграл

Вычисление определенного интеграла непосредственным переходом к пределу интегральной суммы является операцией довольно трудной и не всегда выполняемой. Формула Ньютона-Лейбница дает возмож­ность вычислить определенный интеграл с помощью неопределенного.

Все методы интегрирования, рассматриваемые при изучении не­определенного интеграла, используются и при вычислении определен­ного интеграла.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3

.

Решение. Предположим, , тогда x2 + 1 = t2; 2xdx = 2tdt; xdx = tdt; tH =1, tB = .

Определенный интеграл был вычислен способом подстановки, т.е. с помощью замены переменной. Обратите внимание на вычисление но­вых пределов интегрирования.

Пример 4- Вычислить

Решение.Положим и = lnx; dv = xdx, тогда du = dx/x; v =x2/2.

Следовательно:

Определенный интеграл был вычислен с применением формулы интегрирования по частям, которая имеет вид:

Интегральное исчисление дает общий прием для вычисления площа­дей плоских фигур, объемов тел вращения, работы, силы и др. Решим ряд задач.

Рис. 2

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, х = -1; x = 3; у=0

Решение.Сделаем чертеж (рис. 2)

Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = Sinx; х = — ; х = 0; у = 0

Решение. Сделаем чертеж (рис. 3). Вычислим интеграл:

ед2, или

Рис. 3

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = 4x; у = х

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4). Вычислим пределы интегриро­вания, для чего решаем систему уравнений относительно х:

Рис. 4

Задача 4- Сила в 8H растягивает пружину на 6см. Какую работу она производит?

Решение.По закону Гука F — хк,

где х — величина растяжения (сжатия), к — коэффициент пропор­циональности.

Задача 5. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V — 6t2 + 2t (м/с), второе - со скоростью V = 42 + 5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?

Решение. Очевидно, что искомая величина есть разность рассто­яний, пройденных первым и вторым телом за 5с.

S1 - S2 = 275 - 75 = 200(m)

 









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 137;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная