Лекции.ИНФО


Звенья первого и второго порядка. Апериодическое



(инерционное)звено первого порядка (табл. 1, п. 4). Это такое звено, выходная величина которого после подачи на его вход ступенчатого воздействия изменяется монотонно, достигая некоторого установившегося значения (рис. 4). Уравнение звена имеет вид

(24)

или в операторной форме

(25)

где Т и к — соответственно постоянная времени и коэффициент передачи.

63
Рисунок 4 - Временные характеристики апериодического звена: а — разгонная; б — переходная; в — переходная импульсная.

Апериодическое звено наиболее распространено в системах автоматического регулирования и представляет многие элементы автоматики: управляемые объекты (генераторы, двигатели, нагревательные устройства и т. п.), преобразователи, магнитные усилители и другие устройства, обладающие инерционными свойствами (рис. 5).

Рисунок 5 - Примеры устройств, представляющих апериодическое звено: а — теплообменный аппарат (схема); б — электрическая схема.

 

Примером может служить процесс нагревания жидкости в ванне нагретым телом, если принять температуру нагретого тела за входную величину, а температуру жидкости в ванне — за выходную (рис. 5,а).

Согласно закону Ньютона, поток теплоты от более нагретого тела к менее нагретому определяется уравнением

(26)

где — коэффициент теплообмена.

Скорость изменения температуры пропорциональна тепловому потоку и имеет вид

(27)

где ; с и т— соответственно теплоемкость и масса жидкости.

Подставив уравнение (27) в уравнение (26), получим

(28)

Обозначим и получим стандартное уравнение

(29)

Рассмотрим электрическую цепь с сопротивлениемR и конденсаторомС (рис. 5, б), у которой входная величина — напряжениеUвх, а выходная — напряжениеUвых.

По закону Кирхгофа

(30)

гдеUR — падение напряжения на сопротивленииR.

Учитывая, чтоUR=IR, Uвых=Uc и I=С dU/dt, получаем

 


(31)

ОбозначивRC=T, получим уравнение в стандартном виде

(32)

Из приведенных примеров видно, что полученные уравнения, связывающие выходную и входную величины, приводятся к уравнению апериодического звена (24) при к=1

Решение дифференциального уравнения (24) дает изменение выходной величины во времени:

(33)

Переходную функцию получим при единичной ступенчатой функцииx(t)=l(t) и при нулевых начальных условияху(0)=0:

(34)

Весовая функция звена имеет вид

(35)

Графики переходной и весовой функций показаны на рисунке 4,

б, в.

Теоретически переходный процесс в апериодическом звене длится бесконечно долго. Практически для апериодического звена под временем переходного процесса понимают промежуток времени, по истечении которого выходная величина достигает 0,95...0,99 от установившегося значения. Уже приt=ЗТ выходная величина апериодического звена

(36)

где

Для определения постоянной времениТ находят значениеh(t)приt=T

(37)

Из полученной зависимости определяют постоянную времени апериодического звена как время, за которое выходная величина, изменяясь от нуля, достигает 0,63 установившегося значения при условии, что на выход звена подано ступенчатое воздействие (рис. 6).

 

 


Рисунок 6 - Переходный процесс в апериодическом звене.

Передаточная функция имеет вид

(38)

Колебательное звено (табл. 1, п. 5). Звено, у которого выходная величина после подачи на его вход единичного ступенчатого воздействия стремится к установившемуся значению, совершая колебания, называется колебательным.

Колебательное звено описывают дифференциальным уравнением вида

(39)

или в операторной форме

(40)

Если обозначить то уравнение (40) принимает вид (41)

Коэффициент называют степенью затухания звена.

Примерами устройств, которые могут быть представлены колебательным звеном, являются упругая механическая система с существенным влиянием массы (рис. 7, а), электрический колебательный контур (рис. 7, б) и другие устройства.

Рисунок 7 - Примеры устройств, представляющих колебательное звено: а — механическая система; б—электрическая схема.

В упругой механической системе (рис. 7, а) принимают перемещение верхней точки А пружины за входную величину х, а

66
перемещение точки Б пружины — за выходную величину у. Уравнение сил, действующих на тело массой т, имеет вид

(42)

где c и d — соответственно коэффициенты пружины и успокоителя.

Обозначив и , получают уравнение движения системы

(43)

В электрической цепи, показанной на рисунке 7, б, входной величиной является напряжение Uвх, а выходной — напряжение на конденсаторе Uвых. Если цепь ненагруженная, то, согласно закону Кирхгофа,

. (44)

Учитывая, что , и , получают уравнение цепи

( 45 )

которое после введения обозначений

приводится к стандартному виду

(46)

Уравнения динамики приведенных устройств соответствуют уравнению (40) при k=l.

Решение уравнения (40) в общем виде

(47)

представляет собой колебательную функцию, если корни характеристического уравнения будут комплексные, то есть

(48)

Где — коэффициент затухания;

- собственная частота колебаний звена.

Переходная функция устойчивого колебательного звена имеет вид

 

(49)

67
Весовая функция звена имеет вид 0)х

(55)

Рисунок 8 - Временные характеристики колебательного звена (для разных значений е): а — переходная; б — импульсная.

Из приведенных формул видно, что с уменьшением коэффициента затухания колебательность процесса возрастает так как (при ).

Графики переходной и весовой функций для нескольких значений x показаны на рисунке 8.

Передаточная функция колебательного звена имеет вид

s w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> (51)

Консервативное звено (табл. 1, п. 6). Если =0, то звено не будет рассеивать энергию и в нем устанавливаются незатухающие колебания. Такое звено называют консервативным, а его уравнение имеет вид

(52)

или

(53)

Частота установившихся колебаний консервативного звена называется резонансной. Она определяется из соотношения

; (54)

Выражение переходной функции консервативного звена находят из уравнения (41) колебательного звена. При =0

(55)

68
Продифференцировав выражение (55), определим функцию веса

(56)

Передаточная функция консервативного звена имеет вид

(57)

Апериодическое звено второго порядка. Если степень затухания звена , то характеристическое уравнение звена имеет отрицательные вещественные корни и такое звено эквивалентно соединению двух апериодических звеньев первого порядка. Его передаточная функция имеет вид

(58)

Постоянные времени первого и второго звеньев первого порядка находят из соотношений

; (59)

Графики переходной и весовой функций апериодического звена второго порядка показаны в таблице 1, п. 7.

Трансцендентные звенья. К трансцендентным относятся звенья, описываемые неалгебраическими передаточными функциями. К этим звеньям принадлежит звено чистого запаздывания, которое имеет большое практическое значение. Звено запаздывания описывается уравнением

, (60)

Звено запаздывания осуществляет операцию сдвига входного воздействия x(t) на время назад. Выходная величина равна входной, но сдвинута на время .

Примеры устройств, которые можно представить звеном запаздывания, следующие (рис. 9): транспортеры (а), электрические цепи без потерь с распределенными параметрами (б), устройство записи и воспроизведения с магнитофонной ленты (б).

Рисунок 9 - Примеры устройств, представляющих звено запаздывания: а — гранспортер; б — электрическая цепь с распределенными параметрами; в устройство магнитной записи и воспроизведения электрических сигналов.

 


При загрузке на транспортер сыпучего материала толщина слоя в конце транспортера будет отставать от толщины слоя в начале транспортера на время =l/v, где v — скорость движения транспортерной ленты.

Если на вход линии с распределенными параметрами L0 и С0 приложить напряжениеU, то в конце линии, нагруженной на согласованное сопротивление , будет воспроизводиться входное напряжение, но с запаздыванием на время , где 1 — длина линии.

Переходная функция звена запаздывания

(61)

а весовая функция

(62)

Графики этих функций показаны в таблице 1, п. 8.









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-22; Просмотров: 1162;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная