I На пути построения единой теории поля 6.1. Теорема Нетер и законы сохранения
Лекции.ИНФО


I На пути построения единой теории поля 6.1. Теорема Нетер и законы сохранения



В 2.2 уже говорилось о принципе наименьшего дей­ствия, о вариационном принципе в физике. Следует ска­зать, что при формулировании общей теории относитель­ности Эйнштейн пытался вывести уравнения гравитацион­ного поля с использованием вариационных принципов, однако они оказались неверными. Д. Гильберту удалось получить верные уравнения из вариационных принципов, но при этом он не обратил внимание на то, что из сфор­мулированной им теоремы вытекают законы сохранения. Примерно в тот же период времени в математике развивал­ся подход, связывающий геометрию с теорией групп, состав­ляющей ядро современной абстрактной алгебры. Так, в 1872 году немецким математиком Феликсом Клейном была выдвинута «Эрлангенская программа», в которой вы­ражалась идея систематического применения групп симмет­рии к изучению конкретных геометрических объектов. Все разнообразие геометрических систем удалось понять бла­годаря этому подходу с единой теоретико-инвариантной


точки зрения. Инвариантный принцип построения теории относительности привлек внимание Феликса Клейна. Он явно видел связь теории относительности с идеями «Эрлан-генской программы», что стимулировало его к поиску вы­вода законов сохранения с использованием вариационных принципов. В это же время (1918 г.) Эмми Нетер была до­казана теорема, из которой следует, что если некоторая система инвариантна относительно некоторого глобального преобразования, то для нее существует определенная сохра­няющая величина. Теорема Нетер, доказанная ею во вре­мя участия в работе целой группы по проблемам общей теории относительности как бы побочно, стала важнейшим инструментом теоретической физики, утвердившей особую роль принципов симметрии при построении физической теории. Можно сказать, что теоретико-инвариантный под­ход, эрлангенский принцип проник в физику и определил целесообразность формулирования физических теорий на языке лагранжианов. Так, упоминаемые выше законы со­хранения являются следствиями симметрий, существую­щих в реальном пространстве-времени. Закон сохранения энергии является следствием временной трансляционной симметрии — однородности времени. В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой системы явно от времени не зависит, а зависит от координат и импульсов всех элементов, составляющих эту систему (которые зави­сят от времени). Несложными математическими преобра­зованиями можно показать, что это приводит к тому, что полная энергия системы в процессе движения остается не­изменной.

Закон сохранения импульса является следствием транс­ляционной инвариантности пространства (однородности пространства). Если потребовать, чтобы функция Лагран­жа оставалась неизменной (инвариантной) при любом бес­конечно малом переносе замкнутой системы в пространстве, то получим закон сохранения импульса.

Закон сохранения момента импульса является след­ствием симметрии относительно поворотов в пространстве, свидетельствует об изотропности пространства. Если потре­бовать, чтобы функция Лагранжа оставалась неизменной при любом бесконечно малом повороте замкнутой систе­мы в пространстве, то получим закон сохранения момен­та импульса. Эти законы сохранения характерны для всех


частиц, являются общими, выполняющимися во всех вза­имодействиях.

До недавнего времени в физике проводилось четкое раз­деление на внешние и внутренние симметрии. Внешние симметрии — это симметрии физических объектов в реаль­ном пространстве-времени, называемые также простран­ственно-временными или геометрическими. Законы сохра­нения энергии, импульса и момента импульса являются следствиями внешних симметрий.

К классу внутренних симметрий относят симметрии относительно непрерывных преобразований во внутренних пространствах, не имеющих, как считалось до недавнего времени, под собой физической основы, связывающих их со структурой пространства-времени. Такой, к примеру, явля­ется глобальная калибровочная симметрия для электро­магнитного поля, следствием которой является закон со­хранения электрического заряда, и многие другие. Совре­менный этап развития физики раскрывает возможность сведения всех внутренних симметрий к геометрическим, пространственно-временным симметриям, что само по себе свидетельствует об очень сложной структуре самого про­странства-времени нашей Вселенной. Основанием для это­го является тот факт, что все внутренние симметрии име­ют одну калибровочную природу, о чем подробнее будет сказано ниже. Однако современная теоретическая физика дает еще один чрезвычайно важный результат, свидетель­ствующий о том, что все многообразие физического мира проявлено вследствие нарушений определенных видов сим­метрии. Поэтому для более глубокого понимания происхо­дящих в физической теории процессов следует более под­робно рассмотреть функционирование понятий симметрии и асимметрии в науке.

Понятие симметрии

Симметрия как философская категория означает про­цесс существования и становления тождественных момен­тов в определенных условиях и определенных отношени­ях между различными и противоположными состояниями явлений мира. Это означает, что, изучая симметрию каких-либо систем, необходимо рассматривать их поведение при различных преобразованиях. То есть из всей совокупнос-


ти преобразований выделяются такие, которые оставляют неизменными, инвариантными некоторые функции, соответ­ствующие рассматриваемым системам. Самым емким, удоб­ным и простым языком для выражения симметрий ока­зался математический язык. Математическая теория, рас­сматривающая такие преобразования или совокупности преобразований, называется математиками теорией групп. Корни идеи теории групп восходят к работам великих ма­тематиков П. Руффини (1765-1822), Н. Абеля (1802-1829) и Эвариста Галуа (1811-1832). Одной из центральных за­дач классической алгебры того времени была задача о на­хождении корней алгебраического уравнения n-степени по известным коэффициентам, входящим в это уравнение. Руффини, а впоследствии Абель и Галуа доказали неразре­шимость в радикалах общего алгебраического уравнения пятой и более степени. Так что проблема общего изучения закона образования корней из известных коэффициентов не была решена, несмотря на многочисленные усилия матема­тиков. Результат был получен Эваристом Галуа лишь на основе введения абстрактных понятий более высокой сте­пени общности, на основе создания совершенно новой ал­гебраической теории, развившейся впоследствии в теорию групп. Интерес к теории групп со стороны Феликса Клей­на передался норвежскому математику М. Ли, который и явился создателем математического аппарата теории групп (групп Ли) и их инвариантов, ставшего важнейшим инструментом современной теоретической физики.

Калибровочные симметрии

В 2.4 уже говорилось о том, что при создании общей те­ории относительности Эйнштейн обнаружил, что попытки включения тяготения в специальную теорию относительно­сти (СТО) наталкиваются на серьезные трудности, связанные с тем, что в этом случае не работает глобальная лоренц-ин-вариантность. Поставив во главу угла задачу распростране­ния принципа инвариантности применительно к любым системам отсчета, в том числе и к неинерциальным, Эйн­штейн приходит к выводу, что лоренц-инвариантность не является более глобальным свойством, но в то же время продолжает играть центральную роль в теории в качестве локальной инвариантности. А это означает, что, если гали-

8. Зак 671 225


леево пространство максимально однородно, то в общей теории относительности такого рода однородность суще­ствует локально, в бесконечно малом, то есть здесь долж­на существовать возможность свободного изменения мас­штаба от одной точки пространства к другой, что означает кривизну траектории, отклонение ее от прямой линии. Ус­ловие выполнения инвариантности физических законов от­носительно локальных преобразований требует введения гравитационного поля, роль которого состоит в компенсации эффектов, связанных с этим изменением масштаба или, как говорят, вызванных калибровкой от точки к точке.

Термин «калибровка» вошел в физику из жаргона же­лезнодорожников, употребляемый в значении перехода с узкой колеи на широкую. Под калибровкой, по аналогии с железнодорожной терминологией, первоначально понима­лось именно изменение уровня или масштаба. В СТО за­коны физики не изменяются относительно переноса (или сдвига) при калибровке расстояния. То есть траектории движения остаются прямолинейными, пространственный сдвиг оказывается одинаковым у всех точек пространства. Иначе говоря, здесь работают глобальные калибровочные преобразования. В общей теории относительности инвари­антность физических законов достигается только относи­тельно локальных калибровочных преобразований. При этом в общей теории относительности обнаруживается со­вершенно новый подход к природе физических взаимодей­ствий, что в существенной степени расширило смысл самого понятия «калибровочное преобразование», возведя его в принцип, который лежит в основе всего фундамента совре­менной физики. Калибровочный принцип называют дина­мическим нововведением в общей теории относительнос­ти. Нововведением является тот факт, что гравитационное поле здесь не постулируется, а выводится как результат инвариантности лагранжиана теории относительно группы локальных калибровочных преобразований. То есть требо­вание инвариантности порождает определенный конкрет­ный вид взаимодействия. А это уже принципиально новый подход в физике. Благодаря ему современная физика ото­шла от исторической традиции, согласно которой заранее давалась форма взаимодействий, установленная эксперимен­тально и теоретически описанная некоторыми умными физиками. Форма взаимодействия более не постулируется,


а выводится как результат инвариантности относительно групп определенных локальных преобразований, как спо­собы, которыми в природе должно компенсироваться ло­кальное калибровочное преобразование. И неважно, какие виды симметрий (калибровочные в прямом смысле или другие) обусловливают эти взаимодействия. В каждом слу­чае теории, в которых работает этот принцип, называют ка­либровочными. Иными словами, калибровочная инвариан­тность позволяет ответить на вопрос: «Почему и зачем в природе существуют такого рода взаимодействия?»

Для обеспечения инвариантности относительно локаль­ных калибровочных преобразований в различных про­странствах (в каждом конкретном случае) производят за­мену обычных производных ковариантными (впервые вве­дены в общей теории относительности) путем добавления таких слагаемых, которые позволяют построить лагранжи­ан, инвариантный одновременно или по отдельности отно­сительно калибровочных преобразований во всех соответ­ствующих внутренних пространствах частиц. Калибровоч­ный принцип оказался важным инструментом теоре­тической физики, это основной принцип, на котором стро­ится единая теория всех взаимодействий в физике. Но представляется, что этот принцип выходит далеко за рамки собственно физики и может стать мощным методологичес­ким регулятивом при решении ряда проблем социально­го и экономического характера. Очевидно, что такие прин­ципы, как социальная справедливость, равенство, устойчи­вый уровень жизни населения и др. и могут быть по­ставлены в соответствии с категорией симметрии. А это го­ворит о том, что путь к достижению этих идеалов может стать в том числе и математическим. Лагранжев форма­лизм, использованный в экономике, мог бы стать мощней­шим фактором в регулировании денежной системы, кон­троле за монопольными отраслями производства и др. Важно и то, что лагранжев подход, ставящий во главу угла обеспечение конкретных видов симметрии, с изменением ситуации позволяет строить лагранжиан путем замены обычных производных ковариантными производными, от­личающимися от первоначальных. Это указывает на мо­бильность и перспективность калибровочного подхода.

8* 227


6.4. Взаимодействия. Классификация элементарных частиц

В настоящее время в физике определено существование четырех типов физических взаимодействий — гравитаци­онного, сильного, электромагнитного и слабого. Оказыва­ется, что все они имеют калибровочную природу и описы­вается калибровочными симметриями, являющимися раз­личными представлениями групп Ли. Так, электромагнит­ное взаимодействие описываются калибровочной симметрий SU(1), слабое взаимодействие — калибровочной симметрией SU(2), сильное взаимодействие — калибровочной симметри­ей SU(3). Тот факт, что все известные физические взаимо­действия имеют одну калибровочную природу, как бы сде­ланы «из одной болванки», вселяет надежду, что можно будет найти «единственный ключ ко всем известным зам­кам» и описать эволюцию Вселенной из состояния, пред­ставленного единым суперсимметричным суперполем, из состояния, в котором различия между типами взаимодей­ствий, между всевозможными частицами вещества и кван­тами полей еще не проявлены. История же самодвижения Вселенной отмечена датами спонтанного нарушения сим­метрии, моментами, когда проявляется различие между ти­пами физических взаимодействий, когда микрообъекты приобретают массы, заряды и другие характеристики, что, в конечном счете, приводит ко всему последующему мно­гообразию физического мира.

Для обсуждения этих проблем остановимся вкратце на существующей в современной физике классификации эле­ментарных частиц. При этом подчеркнем, что обсуждаемые нами выше взаимодействия и связанные с ними поля со­гласно квантовой теории поля — квантованы, то есть со­держат соответствующие каждому конкретному полю кван­ты, посредством которых и осуществляются взаимодей­ствия между частицами.

Физика до недавнего времени изучала материю в двух ее проявлениях — веществе и поле. Причем частицы ве­щества и кванты полей подчиняются разным квантовым статистикам и ведут себя различным образом. Так, части­цы вещества являются ферми-частицами (фермионами). Системы тождественных ферми-частиц подчиняются стати-


стике Ферми—Дирака. Все фермионы имеют полуцелое значение некоторой очень важной квантовой характеристи­ки элементарной частицы (не менее важной, чем заряд или масса), называемой спином. А для частиц с полуцелым зна­чением спина справедлив принцип запрета Паули, соглас­но которому две тождественные частицы с полуцелым спи­ном не могут находиться в одном и том же состоянии. Принцип Паули определяет образование электронных обо­лочек в атомах, поскольку в одном и том же состоянии на одном подуровне могут находиться только два электрона с противоположными спинами, что определяет закономерно­сти периодической системы элементов Менделеева.

Все кванты полей являются бозе-частицами (бозона­ми) — частицами с целочисленным значением спина. Си­стемы тождественных бозе-частиц подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Принцип Паули для них несправедлив: в одном и том же состоянии может находиться любое число частиц. Так что бозе- и ферми-частицы рассматри­ваются как частицы, имеющие различную природу. В ка­либровочных теориях до недавнего времени это различие снять не удавалось, и физики констатировали факт разде­ления в настоящую эпоху эволюции Вселенной материи на два вида — вещество и поле.

Частицы вещества

В свою очередь, частицы вещества делятся на две груп­пы — кварки и лептоны. Кварки и лептоны входят в со­став других физических объектов и считаются при достиг­нутых на сегодняшний день энергиях «бесструктурными». Кварки — это частицы, которые, кроме электрического за­ряда, обладают цветным зарядом. Наличие у кварков цвет­ного заряда обусловливает способность их к сильным вза­имодействиям. Известно, что протон и нейтрон состоят из трех кварков. Однако принцип Паули здесь не нарушает­ся, так как эти кварки имеют различные цветовые заряды. Заряд сильного взаимодействия назвали «цветом» именно по аналогии с действительными цветами для того, чтобы подчеркнуть, что смешение трех цветов кварков делает протон или нейтрон бесцветным (так же, как смешение красного, желтого и зеленого цветов даст белый цвет). Со­ответственно различают три заряда сильных взаимодей-


ствий — красный (R), желтый (Y) и зеленый (G). Лепто-ны — бесцветны и не участвуют в сильных взаимодействи­ях. Предполагается существование шести кварков и шес­ти лептонов. При этом производится деление их на семей­ства трех поколений.

В столбце «Кварки» латинскими буквами обозначены различные ароматы кварков, индексами — цвета кварков. Название ароматов кварков: U — от английского слова up — вверх; d — от английского слова down — вниз; С — от английского слова charm — очарование; S — от англий­ского слова strange — странный; t — от английского сло­ва top — верхний; b — от английского слова botton — нижний.

Все вещество во Вселенной составлено из четырех ча­стиц I (первого) поколения. Частицы второго (П) и третьего (III) поколения рассматриваются как возбужденные состо­яния частиц первого поколения в соответствии с их рас­положением в таблице. В настоящее время пока неизвест­но, почему существует именно такое количество поколений частиц, и не существуют ли и другие, пока еще не откры-


тые семейства частиц? И почему до сих пор не наблюда­лись переходы между частицами разных поколений?

Все частицы участвуют в гравитационных и в слабых взаимодействиях. Так, например, действие слабых сил при­водит к изменению природы частиц — превращению квар­ка одного аромата в кварк другого аромата, электрона в нейтрино и т. д. В электромагнитных взаимодействиях участвуют только те частицы, которые имеют электриче­ский заряд. Известно, что кварки имеют дробный электри­ческий заряд. Значит, они также участвуют в электромаг­нитных взаимодействиях, как и электрон. Нейтрино в электромагнитных взаимодействиях не участвуют. И, на­конец, только кварки, обладающие цветным зарядом, спо­собны к сильным взаимодействиям. Частицы, состоящие из кварков, называются адронами. Адроны делятся на два класса — барионы, в состав которых входят три квар­ка с различными цветами, и мезоны, состоящие из пары кварк — антикварк. Соответственно, антикварк имеет ан-тицветовой заряд. Таким образом, адроны, содержащие в себе цветные кварки, сами являются бесцветными. Барио-нами являются протоны и нейтроны — частицы, входящие в состав ядра атома. Протон состоит из двух u-кварков и одного d-кварка (р =uud); нейтрон состоит из одного и-кварка и двух d-кварков (n =udd). Протон имеет положи­тельный электрический заряд, нейтрон является электри­чески нейтральной частицей. Ядра и электроны образуют атомы, а атомы — молекулы.

Следует сказать, что физика кварков открывает новую, необычную страницу в истории физики. С одной стороны, ничего нетрадиционного в поисках наиэлементарнейшего уровня в иерархии элементарных частиц и в связи с этим с гипотезой кварков нет. Но, с другой стороны, само пове­дение кварков несколько необычно, ибо они никогда не встречаются в свободном состоянии, а находятся в посто­янном плену, заключены внутри адронов. В физике квар­ков сформулирована гипотеза конфайнмента (от англ. confinement — пленение), кварков внутри адронов, соглас­но которой невозможно вылетание свободного кварка из адрона. Несмотря на это необычайное обстоятельство, су­ществование кварков как реальных частиц в физике на­дежно обосновано.


Кванты полей

Квантом гравитационного поля является гравитон.Однако гравитон пока не установлен экспериментально, равно как и не построена по сей день теория квантовой гравитации.

Квантом электромагнитного поля является фотон Масса покоя фотона равна 0. Фотон не несет на себе элек­трического заряда. Это обеспечивает линейный характер электромагнитных взаимодействий и большой радиус их действия.

Квантами слабого взаимодействия являются три бозо­на — W+, W-, Z0-бозоны.Верхние индексы указывают знак электрического заряда этих квантов. Кванты слабо­го взаимодействия имеют значительную массу, что приво­дит к тому, что слабое взаимодействие проявляется на очень коротких расстояниях.

Квантами сильного взаимодействия являются восемь глюонов.Свое название глюоны получили от английско­го слова glue (клей), ибо именно они ответственны за конфайнмент кварков. Массы покоя глюонов равны нулю. Однако глюоны обладают цветным зарядом, благодаря чему они способны к взаимодействию друг с другом, как говорят, к самодействию, что приводит к трудностям описания сильного взаимодействия математически ввиду его нели­нейности. Если слабое взаимодействие ответственно за из­менение ароматов кварков, то сильное взаимодействие, осу­ществляемое посредством обмена глюонами между кварка­ми, приводит к изменению цветов кварков. Так что в ядре постоянно происходят превращения протонов в нейтроны и наоборот — за счет обмена квантами слабого взаимодей­ствия между кварками, вследствие чего u-кварк превраща­ется в d-кварк и наоборот. Кроме этого внутри протонов и нейтронов кварки постоянно меняют свои цвета, испус­кая и поглощая глюоны. При этом протоны и нейтроны остаются бесцветными. Подобная инвариантность требует существования поля сильного взаимодействия для поддер­жания цветовой симметрии кварков. Хвост сильного вза­имодействия между кварками внутри протонов и нейтро­нов обеспечивает силы притяжения между протонами и протонами, протонами и нейтронами, нейтронами и нейтро­нами внутри ядра (ядерные силы).


Следует отметить, что взаимодействия, соответствующие калибровочной симметрии, характерны тем, что их величи­на определяется величиной заряда соответствующего вза­имодействия. То есть заряд калибровочного взаимодей­ствия одновременно определяет и величину заряда элемен­тарной частицы, и величину («силу») самого взаимодейст­вия, так называемую константу связи. В настоящую эпо­ху эволюции Вселенной константы связи различных вза­имодействий соотносятся следующим образом:

где aS — константа связи сильного взаимодействия; аЕ — константа связи электромагнитного взаимодействия; aW — константа связи слабого взаимодействия; aG — константа связи гравитационного взаимодействия.

Современные физики считают, что такое соотношение существовало не всегда. Иными словами, рассматриваемые постоянные не являются постоянными. И существовала эпоха в эволюции Вселенной, когда эти константы были равны. А это означает, что не существовало различий между четырьмя типами физических взаимодействий. Именно это обстоятельство и стимулирует физиков в построении еди­ной теории всех физических взаимодействий — единой тео­рии поля. Однако для того, чтобы понять те физические идеи, на которых базируется построение этой теории, сле­дует сказать, что в действительности физика рассматривает материю не в двух проявлениях — веществе и поле, как это отмечается во многих физических справочниках, сло­варях и энциклопедиях, а в трех проявлениях. Третьим ка­чественно отличным от вышеназванных двух форм мате­рии является физический вакуум. Дело в том, что все кван­ты полей, рассмотренные нами ранее, являются векторными калибровочными бозонами. Калибровочными их называют по той причине, что они являются квантами калибровоч­ных полей. Векторными их называют потому, что все они имеют целочисленное значение спина, равного единице (1), за исключением гравитона, спин которого предполагается равным двум (2). Физический вакуум нашей Вселенной рассматривается как коллективные возбуждения хиггсо-вых скалярных бозонов, спин которых равен нулю (0). Именно физический вакуум является прародителем всех


частиц вещества и квантов полей, резервуаром, перекачка энергии из которого обеспечила их возникновение и фун­кционирование. Способность вакуума в ходе эволюции Вселенной изменять свое состояние и привела к многооб­разию форм физического мира.

Составление представлений о структуре материи на разных этапах эволюции науки представлено ниже:









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-22; Просмотров: 154;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная