Лекции.ИНФО


Билет № 23. Умозаключения и их виды.

Умозаключение это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключений.

Посылка- это высказывание, содержащее знание.

Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

В умозаключении из посылок выводится заключение.

Существуют разные виды умозаключений: например:

Существуют дедуктивные умозаключения- это умозаключения, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

 

Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить А1,А2,А3,…..Аn, а заключение В, то само умозаключение можно представить в виде А1,А2,…Аn->В,но чаще это записывают следующим образом А1,…. Аn\В( А над чертой В од чертой)черта означает = следовательно.

 

Правильность умозаключений определяется только его формой и не зависит от содержания входящих в него утверждений.

 

Существует правило ,соблюдая которое можно строить дедуктивные умозаключения, эти правила называются правилами вывода или схемами дедуктивных умозаключений, таких правил много ,но наиболее часто используются следующие:

1) Правило заключения.

А(х)=>В(х),А(а)\В(а)(над \ под чертой)

В нем даны две посылки первая - А(х)=>В(х),это общая посылка, А(а) вторая- частная посылка, она получается из условия А(х) в случае когда х=а

Предложение В(а) это умозаключение, оно получается из В(х) при х=а.

Рассмотрим пример:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5 , то число х делиться на 5. Запись числа 275 оканчивается на 5 =>275:5(А(х)-х оканчивается 5, В(х),х:5, А(а)-275 оканчивается на 5, В(а) 275 :5)

Существуют различные способы проверки правильности умозаключений

Рассмотрим способ с использованием кругов Эйлера.

А(х)=>В(х),А(а)\В(а)(над \ под чертой)

А(х)=>В(х),--- ТА с ТВ

А(а)

а принадлежит ТА

В(а)

а принадлежит ТВ.

ТА с ТВ, а принадлежит ТА\ а принадлежит ТВ.(над \ под чертой)

В кругах в ТВ круг- ТА, а в нем точка а.

20 правило отрицания.

А(х)=>В(х),отриц В(а)\отриц А(а) (над \под чертой.)

Пример:

Если запись числа х оканчивается на5, то число х делиться на 5, число 137 не делиться на 5 следовательно он не оканчивается на5.

А(х)=>В(х)- ТА с ТВ, отриц В(а) а принадлежит ТотрицВ=Т’В, отриц А(а)- а принадлежит ТотрицА,= Т’А.

ТА с ТВ, а принадлежит ТотрицВ=Т’В\ а принадлежит ТотрицА,= Т’А.

В кругах- ТА в пустом ,и это все 2 круга в ТВ,в ТВ и точка а.

3) правило силлогизма.

А(х)=>В(х), В(х)=>С(х)\ А(х)=>С(х).

Пример: если число делиться на 12, то оно делиться на 6. Если число делиться на 6, то оно делиться на 3 следовательно если число х делиться на 12,то он делиться на 3.

 

А(х); х : 12

В(х) х:6

С(х):х:3

А(х)=>В(х), ТА с ТВ, В(х)=>С(х),ТВ с ТС, А(х)=>С(х), ТА с ТС.

ТА с ТВ, ТВ с ТС\ ТА с ТС.

В кругах. ТА в ТВ и все в ТС.

При помощи кругов Эйлер можно проверить является ли умозаключение дедуктивным, если оно выполнено по схеме отличающейся от рассмотренных правил.

Например: Если запись числа х оканчивается цифрой 5 , то число х делиться на 5. Запись числа 125 делиться на 5 =>125 оканчивается на 5(А(х)-х оканчивается 5, В(х),х:5, В(а) 275 :5, А(а)-125 оканчивается на 5)

А(х)=>В(х),В(а)\А(а)(над \ под чертой)

А(х)=>В(х), ТА с ТВ, А(а) а принадлежит ТА,В(а) а принадлежит ТВ.

ТА с ТВ, а принадлежит ТВ \ а принадлежит ТА.

В кругах точка а в ТВ и там же круг ТА.

Данное умозаключение не является дедуктивным, т.к не гарантирует истинности заключения.

При анализе умозаключения, заключение может быть истинным, а умозаключение не быть дедуктивным.

При выполнении умозаключения можно менять очередность посылок и если общие посылки в правилах дедуктивных умозаключений содержат больше одной переменной, то это не нарушает смысла этих правил.

 

Кроме дедуктивных существуют другие виды умозаключений

1) неполная индукция- это умозаключение, в котором на основании того что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что все объекты данного класса обладают этим свойством.

Рассуждая по схеме не полной индукции можно придти к ложному выводу.

Например:

Рассмотрим 3+5 и 3х5, 2+7 и 2х7, 4+8 и 4х8

3+5меньше 3х5 и так каждое!

Т.е для некоторых натуральных чисел их сумма меньше их произведения на основании этого делают вывод о том, что этим свойством обладают все натуральные числа , т.е для любых чисел а и в натуральных а+в меньше ахв. Это не верно т.к можно привести контр пример, где данное неравенство не выполняется. 1+2 и 1х2, первое больше второго!

К выводам полученным при помощи неполной индукции надо относиться критически, т.к они носят характер предположения, гипотезы и нуждаются в доказательстве.

2)аналогия.- аналогией называют умозаключения , в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии признака такого же характера у другого объекта.

Вывод по аналогии носит характер предложения и нуждается в доказательстве или опровержении.

Например: ученик установил, что число делиться на 6 если оно делиться на 2 и3.

Действуя по аналогии он сделал вывод, что число делиться на 8 если оно делиться на2 и 4. И этот вывод является ложным, контрпример 12 или 20!

Билет № 24. Схемы дедуктивных умозаключений.

Существуют дедуктивные умозаключения- это умозаключения, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

 

Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить А1,А2,А3,…..Аn, а заключение В, то само умозаключение можно представить в виде А1,А2,…Аn->В,но чаще это записывают следующим образом А1,…. Аn\В( А над чертой В од чертой)черта означает = следовательно.

 

Правильность умозаключений определяется только его формой и не зависит от содержания входящих в него утверждений.

 

Существует правило ,соблюдая которое можно строить дедуктивные умозаключения, эти правила называются правилами вывода или схемами дедуктивных умозаключений, таких правил много ,но наиболее часто используются следующие:

1) Правило заключения.

А(х)=>В(х),А(а)\В(а)(над \ под чертой)

В нем даны две посылки первая - А(х)=>В(х),это общая посылка, А(а) вторая- частная посылка, она получается из условия А(х) в случае когда х=а

Предложение В(а) это умозаключение, оно получается из В(х) при х=а.

Рассмотрим пример:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5 , то число х делиться на 5. Запись числа 275 оканчивается на 5 =>275:5(А(х)-х оканчивается 5, В(х),х:5, А(а)-275 оканчивается на 5, В(а) 275 :5)

Существуют различные способы проверки правильности умозаключений

Рассмотрим способ с использованием кругов Эйлера.

А(х)=>В(х),А(а)\В(а)(над \ под чертой)

А(х)=>В(х),--- ТА с ТВ

А(а)

а принадлежит ТА

В(а)

а принадлежит ТВ.

ТА с ТВ, а принадлежит ТА\ а принадлежит ТВ.(над \ под чертой)

В кругах в ТВ круг- ТА, а в нем точка а.

20 правило отрицания.

А(х)=>В(х),отриц В(а)\отриц А(а) (над \под чертой.)

Пример:

Если запись числа х оканчивается на5, то число х делиться на 5, число 137 не делиться на 5 следовательно он не оканчивается на5.

А(х)=>В(х)- ТА с ТВ, отриц В(а) а принадлежит ТотрицВ=Т’В, отриц А(а)- а принадлежит ТотрицА,= Т’А.

ТА с ТВ, а принадлежит ТотрицВ=Т’В\ а принадлежит ТотрицА,= Т’А.

В кругах- ТА в пустом ,и это все 2 круга в ТВ,в ТВ и точка а.

3) правило силлогизма.

А(х)=>В(х), В(х)=>С(х)\ А(х)=>С(х).

Пример: если число делиться на 12, то оно делиться на 6. Если число делиться на 6, то оно делиться на 3 следовательно если число х делиться на 12,то он делиться на 3.

 

А(х); х : 12

В(х) х:6

С(х):х:3

А(х)=>В(х), ТА с ТВ, В(х)=>С(х),ТВ с ТС, А(х)=>С(х), ТА с ТС.

ТА с ТВ, ТВ с ТС\ ТА с ТС.

В кругах. ТА в ТВ и все в ТС.

При помощи кругов Эйлер можно проверить является ли умозаключение дедуктивным, если оно выполнено по схеме, отличающейся от рассмотренных правил.

Например: Если запись числа х оканчивается цифрой 5 , то число х делиться на 5. Запись числа 125 делиться на 5 =>125 оканчивается на 5(А(х)-х оканчивается 5, В(х),х:5, В(а) 275 :5, А(а)-125 оканчивается на 5)

А(х)=>В(х),В(а)\А(а)(над \ под чертой)

А(х)=>В(х), ТА с ТВ, А(а) а принадлежит ТА,В(а) а принадлежит ТВ.

ТА с ТВ, а принадлежит ТВ \ а принадлежит ТА.

В кругах точка а в ТВ и там же круг ТА.

Данное умозаключение не является дедуктивным, т.к не гарантирует истинности заключения.

При анализе умозаключения, заключение может быть истинным, а умозаключение не быть дедуктивным.

При выполнении умозаключения можно менять очередность посылок и если общие посылки в правилах дедуктивных умозаключений содержат больше одной переменной, то это не нарушает смысла этих правил.

Билет № 25. Способы математических доказательств. Примеры.

Доказать какое-либо утверждение это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

 

Основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод, а само доказательство это цепочка умозаключений, в которых заключение одного из них является посылкой в последующем.

 

По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства.

 

К прямым можно отнести: полную индукцию- это такой способ при котором истинность утверждения следует из истинности его в частных случаях.

Например: доказать , что каждое составное натуральное число больше 4, но меньше 20, можно представить в виде простых чисел.

6=1+5,10=3+7,16=13+3,……. Следовательно, утверждение справедливо.

 

Примером косвенного –является доказательство методом противного.

При этом допускают, что заключение ложно, следовательно, его отрицание истинно.

Далее строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получат утверждение противоречащее условию.

Как только такое утверждение получено делают вывод, что предложение сделано не верно, т.е верно исходное заключение.

Билет № 26. Особенности математических понятий. Объём и содержание понятий. Видо-родовые отношения между понятиями. Примеры.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет 4 стороны, 4 прямых угла, равные диагонали(существенные).

Среди свойств объекта различают свойства существенные и несущественные для его выделения из других объектов. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественныесвойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.

Примеры:

*существенные: см. выше

Несущественные: сторона АВ квадрата горизонтальна (если квадрат повернуть, то сторона окажется расположенной по-другому) . Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный объект достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.

Совокупность всех взаимосвязанных существенных свойств объекта называют содержанием понятия об этом объекте.

Когда говорят о математическом объекте , то обычно имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином. Так, когда говорят о квадрате, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Совокупность всех квадратов составляет объем понятия квадрата.

Объем понятия – это совокупность всех объектов , обозначаемых одним и тем же термином.

Т. о., всякое понятие характеризуется термином, объемом и содержанием.

Связь объема и содержания:

Чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот. Так например объем понятия «прямоугольный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», поскольку в объем первого понятия входят не все треугольники, а только прямоугольные. Но содержание первого понятия больше: прямоугольный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и другими, присущими только ему (сумма двух острых углов прямоугольного треугольника = 90 градусов; катет, лежащий против угла 30 градусов = половине гипотенузы)

Билет № 27. Определение понятий. Способы определения понятий. Правила определения понятий через род и видовое отличие. Примеры.

В содержание понятия о к-л математическом объекте входит много различных существенных свойств этого объекта. Однако чтобы установить, содержится ли объект в объеме данного понятия (распознать его), необходимо проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существ. св-в объекта, которые достаточны для распознания объекта, называется определением понятия об этом объекте.

Определение – это логическая операция, раскрывающая содержание понятия.

Способы определения понятия:

Прежде всего различают явные и неявные определения.

Явные определения имеют форму равенства, совпадения 2-х понятий. Например, прямоуг. треугольник – это треугольник с прямым углом. Если обозначить через апонятие «прямоугольный треугольник», а через в понятие «треугольник с прямым углом», то схема данного определения будет такова: «аесть в».

Неявные определенияне имеют формы совпадения двух понятий. Примерами таких понятий являются так называемые контекстуальные и остенсивныеопределения.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Например, определение уравнения и его решение. 3 + х = 9, какое число нужно подставить вместо х, чтобы равенство было верным? Это число 6. Из этого текста следует, что уравнение – это равенство с неизвестным числом, которое надо найти, а решить уравнение – это найти такое значение х, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Остенсивные определенияиспользуются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Поэтому остенсивные определения называют ещё определениями путем показа. Например, таким способом определяются в начшк понятия равенства и неравенства.

2*7 > 2*6; 78-9 < 78; 37+6 > 37 - это неравенства

9*3 = 27; 6*4 = 4*6; 17-5 = 8+4 – это равенства

В явных определениях отождествляют два понятия. Одно из них называют определяемым понятием, другое – определяющим. Через определяющее раскрывается содержание определяемого понятия.

Анализ структуры определения квадрата:

«Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны». Сначала указано определяемое понятие – «квадрат», а затем приведено определяющее, которое включает св-ва: быть прямоугольником, иметь все равные стороны.

Свойство «быть прямоугольником» указывает, что все квадраты – прямоугольники, т.е. понятие «прямоугольник» является более общим, чем понятие «квадрат». Его называют родовым по отношению к определяемому понятию «квадрат».

Второе свойство – «иметь равные стороны» - это указание видового свойства, которое отличает квадрат от других видов прямоугольника.

Схематичная структура определения:

Определение понятия по такой схеме называют определением через род и видовое отличие.









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-22; Просмотров: 197;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная