Лекции.ИНФО


Медиана, выходящая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.



Я.С. Бродский А.Л. Павлов

Геометрия

 

треугольников, четырехугольников и окружностей

Донецк 2003

 

УДК 514.14.

Бродский Я. С., Павлов А. Л. Геометрия треугольников, четырёхугольников, окружностей: Пособие для учащихся. - Донецк: ДонНУ, 1996, 36 с.

 

Пособие предназначено для повторения основного содержания школьного курса планиметрии, развития навыков решения планиметрических задач.

Пособие содержит методические рекомендации для учащихся, в которых приведены формулировки утверждений, часто используемых при решении задач, образцы решений планиметрических задач, а также советы и указания по их решению. Приведены тесты для самоконтроля с ответами и указаниями, которые помогут повторить материал, изученный в школе, а также задачи для самостоятельной работы с указаниями. Контрольное задание состоит из контрольного теста, основных и дополнительных задач.

Пособие предназначено для учащихся открытого математического колледжа при ДонНУ. Оно может быть использовано при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам по математике, при проведении факультативных занятий в общеобразовательной школе.

 

 

Рецензент

доцент Донецкого университета Цыбулько В. А.

 

Редактор

доцент Донецкого университета Слипенко А. К.

 

Печатается по решению педагогического Совета ОМК при Донецком университете ( протокол № 8 от 21 марта 1996)

 

© Бродский Я. С. Павлов А. Л.

Дорогой друг !

 

Предлагаемое задание посвящение решению планиметрических задач по всему курсу геометрии, изученному в 7-9 классах. Оно поможет Вам повторить, углубить, расширить методы решения геометрических задач.

Для того, чтобы научиться решать задачи, в первую очередь необходимо усвоить теоретический материал. В планиметрии он необозрим. Приведенные в пособии методические рекомендации помогут Вам обратить внимание на утверждения, которые очень полезны при решении задач. В пособии содержатся образцы решения задач. В них использованы три основных метода: геометрический (требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем), алгебраический (искомая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами фигуры или с помощью уравнений), комбинированный (в процессе решения применяется и геометрический и алгебраический методы).

Усвоить необходимый теоретический материал, проверить степень его усвоения Вам поможет тест для самоконтроля. Обратите внимание на то, что приведены ответы к нему. Если данный Вами ответ не совпал с приведённым ответом, попытайтесь обнаружить ошибку, воспользуйтесь приведёнными указаниями. Пособие содержит задачи для самостоятельного решения и указания к ним. Их решение позволит Вам дополнительно потренироваться в решении задач, подобных предложенным в контрольном задании, более глубоко овладеть методами решения планиметрических задач.

Выполнение контрольного задания состоит из выполнения контрольного теста и решении задач. Приведено 20 обязательных задач и 10 дополнительных, отмеченных звёздочкой. Выполнение контрольного теста состоит в выборе правильного ответа из приведённых и занесении его в контрольный талон.

 

Критерий оценок

оценка тест Обязательные Задачи Дополнительные Задачи
“зачтено” не менее 15 заданий не менее 8 задач -
“4” не менее 20 заданий не менее 12 задач не менее 5 задач
“5” не менее 25 заданий не менее 16 задач не менее 7 задач

 

Срок присылки задания ______________________________________________

 

Желаем Вам успехов !

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

В школьном курсе математики геометрические задачи считаются наиболее трудными, так как, как правило, нет алгоритма для их решения. Приведём некоторые общие положения, которым полезно следовать, решая геометрическую задачу.

1.Решение любой геометрической задачи начинается с чертежа.

 

2.На основании условия задачи следует выявить характерные особенности заданной конфигурации.

 

3.При решении задачи необходимо постоянно обращаться к «банку утверждений», который составляют основные теоремы школьного курса планиметрии, а также ряд утверждений, которые формулируются в некоторых задачах.

 

4.Целесообразно составить план решения задачи. Иногда он составляется от данных к искомой величине, т. е. величины, заданные в условии задачи и те, которые нужно найти, связывают цепочкой промежуточных величин, каждая из которых последовательно определяется через предыдущие. В других случаях путь решения прослеживается от конца до начала. И, наконец, в более сложных задачах поиск пути решения можно вести с двух сторон - с начала (что можно найти?) и с конца (что нужно найти?).

 

5.Часто бывают полезными дополнительные геометрические построения.

 

6.Окончив решение задачи, следует подумать о том, не пропущены ли какие-то случаи, т. е. провести исследование, анализ решения.

 

7.Решив задачу, целесообразно попробовать решить её другим способом. Лучше решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач одним!

 

 

ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Планиметрические задачи не вычисление и доказательство зачастую сводятся к решению треугольников, т. е. к вычислению его сторон и углов по некоторым из них. Одним из методов, применяемых при этом, является вычленение прямоугольного треугольники, после чего всё сводится к работе с этим треугольником. При этом используется чаще всего теорема Пифагора и соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника с помощью тригонометрических функций.

с2 = a2 + b2

sinA = = cosB tgA =

sinB = = cosA tgB =

Задача 1.Выразить медиану AD треугольника ABC через его стороны a, b, c.

 Постараемся выделить прямоугольный треугольник, одной из сторон которого будет медиана AD. Для этого достаточно провести высоту AF. Будем предполагать, что угол С - острый. Тогда высота AF пересечёт сторону BC, а не её продолжение (см. рис.).

 

Обозначим CF через x, тогда FB=a-x. Из прямоугольных треугольников AFC и AFB соответственно имеем:

AF2 = b2 - x2, AF2 = c2 - (a - x)2, откуда b2 - x2 = c2 - (a - x)2.

Решая это уравнение относительно x, получим

Далее,

Из треугольника ADF имеем

Аналогично задача решается, если угол С тупой. g

 

В этой задаче для нахождения неизвестной медианы было составлено уравнение: один и тот же элемент (высота AF) выражался через известные и неизвестные величины двумя различными способами и полученные выражения приравнивались. Этот метод часто используется в планиметрии.

Задача 2. Внутри угла величины a c вершиной в точке O взята точка A. Расстояние от точки A до одной из сторон угла равно a, а проекция OA на другую его сторону равна b. Найти OA.

š Пусть проекция A на одну сторону - точка B, а на другую - точка C, AB = a , OC = b. Продолжим AC до пересечения с OB в точке M. Из треугольника OCM имеем

Ð BAM = Ð BOC = a , так как они дополняют один и тот же угол BMA до 90°. Из треугольника AMB получим Тогда

 

Значит,

 

Задача решена в предположении, что угол BOC острый. А что будет в других случаях?

 

Если a = 90° и a = b, то OA может принимать любое значение, большее a. Если же a ¹ b, то задача не имеет решения.

 

Пусть a > 90°. Возможны три случая расположения точки A относительно сторон угла.

 
 

 


В первых двух случаях получим . В третьем случае .

Ответ. Если 0 < a < 90°, то

Если a = 90°, то при a = b OA > a, при a ¹ b решения нет.

Если 90° < a < 180°, то g

 

Рассмотренная задача показывает, что окончив решение, необходимо подумать, не упущены ли какие-то случаи, нюансы, т. е. провести исследование, анализ решения. И вообще, при выполнении чертежа нужно попытаться все возможные конфигурации, соответствующие условиям задачи. В некоторых случаях, хотя рассуждения для каждого варианта будут иметь некоторые отличия, но ответ будет одним и тем же. Например, в задаче 1 для острого и тупого угла. В других случаях ответы будут различные (как в задаче 2). В третьих с помощью рассуждений можно доказать невозможность той или иной конфигурации.

 

Приведём несколько утверждений, связанных с прямоугольным треугольником, полезных при решении задач.

 

Высота CD, опущенная на гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC, делит этот треугольник на два подобных между собой и подобных исходному треугольника.

Отсюда: CD2 = AD · BD; BC2 = AB · AD; BC2 = AB · BD.

 

ГЕОМЕТРИЯ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ

Приведём теоремы, которые часто применяются при решении задач.

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°:

 

 

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны:

Задача 10. Доказать, что биссектрисы углов выпуклого четырёхугольника образуют четырёхугольник, вокруг которого можно описать окружность.

 Если какие-то три биссектрисы пересекаются в одной точке, то в пересечении биссектрис образуется треугольник, около которого всегда можно описать окружность.

Будем предполагать, что никакие три биссектрисы не пересекаются в одной точке.

Чтобы убедится в том, что около четырёхугольника MNPQ можно описать окружность, достаточно показать, что .

Действительно,

.

Тогда .g

Задача 11. В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E, F, H, G являются соответственно серединами отрезков AB, BC, CD, AD; O — точка пересечения отрезков EM и FG. Известно, что . Найти длины диагоналей четырёхугольника.

Так как EF — средняя линия треугольника ABC, то , .

Аналогично , поэтому

Точно также

Отсюда следует, что EFGH — параллелограмм, у которого диагонали a и b , а угол между ними равен 60°. Для нахождения BD и AC достаточно найти FH и EF. Из треугольника OFH по теореме косинусов имеем

Так как BD=2FH, то

Из треугольника OEF по теореме косинусов имеем:

.

Откуда

Ответ: и .g

 

Заметим, что если в задаче фигурирует середина одной или нескольких сторон четырёхугольника, то стоит при необходимости добавить середины каких-то других сторон или диагоналей и рассмотреть средние линии соответствующих треугольников.

Задача 12. Около окружности описана равнобочная трапеция ABCD. Боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках M и N , K — середина AD. В каком отношении прямая BK делит отрезок MN ?

ƒ Если выполнить этот чертёж “правильно”, он может подсказать какие-либо геометрические соотношения между элементами фигуры. В этой задаче возникает подозрение, что

Попробуем доказать это равенство.

Пусть P — середина BC, O — центр вписанной в трапецию окружности. Точки P, O, K лежат на одной прямой, перпендикулярной BC и AD.

Эта прямая делит отрезок MN пополам: . Докажем, что E — середина MF. как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Обозначим: . Из подобия треугольников BME и ABK имеем: или . Отсюда

Аналогично из подобия треугольников EFK и BPK имеем но Поэтому т. е. . Значит,

ME :EF = 1 :3.g

 

ГЕОМЕТРИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ

 

Приведём ряд теорем, которые часто используются при решении задач, связанных с окружностью.

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

1. Дан равнобедренный треугольник АВС, АВ=ВС=10 см, АС = 16 см.

Найти:

а) высоты треугольника;

б) медианы треугольника;

в)площади кругов, вписанного в треугольник и описанного около треугольника;

г) расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей;

д) радиус окружности, построенной на основании треугольника, как на хорде и касающейся боковых сторон треугольника;

е) в каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису угла при основании;

ж) длину отрезка, концы которого совпадают с основанием высот, проведённых к боковым сторонам;

з) длину отрезка, концы которого совпадают с точками пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника;

и) сумму периметров трёх треугольников, отсекаемых от данного треугольника тремя касательными, проведёнными к окружности, вписанной в данный треугольник.

2. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 8 см. Найти длину третьей стороны, если:

а) медиана третьей стороны равна 5 см;

б) площадь треугольника равна 19,2 см2;

в)медиана меньшей стороны равна см;

г) полусумма высот, проведённых к данным сторонам, равна третьей высоте;

д) медианы, проведённые к этим сторонам, взаимно перпендикулярны;

е) одна из сторон параллелограмма, вписанного в данный треугольник, имеет длину 4 см и лежит на третьей стороне треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны данным сторонам треугольника. Чему равна другая сторона параллелограмма?

ж)биссектриса угла между данными сторонами равна 6 см;

з) углы, противолежащие данным сторонам, относятся как 1 :2 .

3. Перпендикуляр, проведённый из вершины B тупого угла параллелограмма ABCD на его диагональ AC, делит эту диагональ на отрезки 41 и 57 см. Разность сторон параллелограмма равна 14 см. Найти:

а) стороны и диагонали параллелограмма;

б) площадь параллелограмма и его высоты;

в)синус угла между высотами;

г) отрезки, на которые биссектриса острого угла параллелограмма, делит большую сторону и меньшую диагональ;

д) отрезки, на которые биссектриса угла между диагональю и стороной делит противоположную сторону;

е) длину биссектрисы острого угла параллелограмма;

ж)площадь четырёхугольника, вершины которого совпадают с серединами сторон параллелограмма;

з) вид четырёхугольника, образованного биссектрисами углов параллелограмма;

и)отношение расстояний от любой точки диагонали АС до прямых ВС и СD;

к)площадь параллелограмма, определённого прямыми, проведёнными через вершины параллелограмма параллельно его диагоналям;

л)стороны треугольника, в который вписан данный параллелограмм так, что его диагонали параллельны двум сторонам треугольника, а меньшая из его сторон лежит на третьей стороне треугольника.

4. Две окружности, радиусы которых 4 см и 12 см, касаются внешним образом.

а) Найдите длину их общей касательной.

б) Вычислите центральные углы, образованные радиусами каждой из окружностей, проведёнными в точки касания окружностей, с их общими внешними касательными.

в)Найдите основание равнобедренного треугольника, боковые стороны которого являются внешними касательными окружностей, а основание касается большей из окружностей.

г) Вычислите угол между хордами, соединяющими точку касания окружностей с точками касания их общей внешней касательной. Зависит ли величина этого угла от длин радиусов?

д) Найдите длины хорд, соединяющими точку касания окружностей с точками касания одной из общих внешних касательных.

е) Вычислите длины оснований и высоту трапеции, ограниченной двумя общими касательными к этим окружностям и прямыми, соединяющими точки касания. Можно ли в эту трапецию вписать окружность? Чему равен её радиус?

ж)Постройте с помощью циркуля и линейки общую касательную к данным окружностям. Сколько решений имеет задача? Пригоден ли используемый Вами метод для построения общей касательной к двум окружностям не имеющим общих точек?

5. Сторона АВ треугольника АВС равна 15, сумма двух других сторон равна 27. Радиус окружности, вписанной в треугольник равен 4. Найдите:

а) высоту, опущенную на данную сторону; б) косинус угла С;

в)стороны АС и ВС; г) медиану данной стороны;

д) радиус окружности, описанной около данного треугольника;

е) радиус окружности, проходящей через точки А, В и центр вписанной окружности.

 

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

1. г) Обратите внимание на то, какой вид имеет треугольник АВС.

д) Выразите искомый радиус из двух других прямоугольных треугольников.

е) Вспомните, как биссектриса внутреннего угла треугольника делит его противоположную сторону.

ж) Не забудьте, что искомый отрезок находится вне треугольника.

з) Примените результат задачи 1 е).

и) Примените свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки.

2. а) Примените задание № 10 из теста для самоконтроля.

б) Найдите вначале синус угла между данными сторонами.

в) Рассмотрите два возможных случая.

г) Выразите разными способами площадь данного треугольника.

д) Найдите вначале сумму квадратов медиан, проведённым к данным сторонам.

е) Будьте внимательны при построении чертежа.

ж) Примените теорему косинусов.

з) Примените теорему синусов.

3. в) Докажите, что угол между высотами равен острому углу параллелограмма.

е) Можно воспользоваться теоремой косинусов.

ж) Вспомните свойство средней линии треугольника.

з) Сумма углов параллелограмма, прилегающих к одной стороне, равна 180°

и) Сравните площади треугольников МВС и МDС, где M — точка на диагонали AC.

к) Сравните площади данного параллелограмма с искомой площадью.

4. в) Рассмотрите подобные треугольники.

г) Рассмотрите углы, образованные линией центров с упомянутыми в задаче хордами.

е) Используйте результат решения задачи 4 б).

ж) Постройте на отрезке, соединяющем центры окружностей, как на диаметре, окружность.

5. б) Выразите cosÐC с помощью теоремы косинусов через сумму сторон AC и BC и их произведение. Произведение AC . ВС выразите из формулы площади треугольника. Получите тригонометрическое уравнение для угла С.

е) Пусть О1 — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Радиус окружности, описанной около треугольника АО1С можно найти по теореме синусов. Покажите, что sinÐAO1B = cos

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

 

1. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Этот треугольник …

А. остроугольный Б. прямоугольный

В. тупоугольный Г. может быть любым

2. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = а, АС = b, СD - биссектриса угла С. Отрезок BD равен …

А. Б. В. Г.

3. Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Отношение сторон …

А. равно 1 : 2 : 3 Б. 1 : :

В. равно 1: : 2 Г. определить нельзя

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Расстояние между ортоцентром треугольника (точкой пересечения высот) и центром описанной около него окружности …

А. равно Б. равно с

В. равно Г. определить нельзя

5. Из вершины А треугольника АВС проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, пересекающие сторону ВС и её продолжение соответственно в точках D и E. Угол EAD …

А. равен 45° Б. равен 60°

В. равен 90° Г. определить по этим данным нельзя

6. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раза больше проведённой к ней высоты. Наименьший угол этого треугольника равен …

A. 30° Б. 20° В. 15° Г. 40°

7. Треугольник АВС — равнобедренный АВ=ВС =a; AC =b; BD^AC, АМ - биссектриса угла ВАС, DK ççAM. Отношение BM / MK равно …

A. а: b Б. a : 2b В. 2a : b

Г. числу, отличному от приведённых.

8. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны, равны m1 и m2. Площадь треугольника равна …

A. m1m2 Б. m1m2 В. m1m2 Г. m1m2

9. Высоты треугольника равны 3, 4, 5. Этот треугольник …

А. тупоугольный Б. прямоугольный

В. остроугольный Г. может быть любым

10. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному. Углы этого треугольника равны …

А. 36°, 36°, 108° Б. 72°, 72°, 36°

В. 54°, 54°, 72° Г. ответ отличен от приведенных

11. В треугольнике АВС биссектрисы АD и СE пересекаются в точке F. Точки B, D, E, F лежат на одной окружности. Угол В равен …

А. 90° Б. 60° В. 45° Г. числу, отличному от приведённых

12.На сторонах АВ, АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М, N и К так, что . Около какого четырехугольника нельзя описать окружность?

А. BMNC Б. KMAC В. NMKC

Г. таких четырёхугольников в этой конфигурации нет

13. В трапеции ABCD АВ = а, ВС = b (a ¹ b). При каких а и b биссектриса угла А пересекает боковую сторону СD?

А. любых а и b Б. a < b В. a > b

Г. не пересекает ни при каких a и b

14. Середины сторон некоторого четырехугольника последовательно соединены. Получился прямоугольник. Какими свойствами обладает данный четырехугольник?

А. равны все стороны Б.все углы прямые

В. диагонали равны Г. диагонали взаимно перпендикулярны

15.Параллелограмм с высотами h1 и h2 и периметром 2р не существует, если …

А. h1 + h2 < p Б. h1 + h2 = p В. h1 + h2 £ p Г. h1 + h2 > p

16. На сторонах AB и AD ромба ABCD взяты две точки M и N так, что MC и NC делят ромб на три равновеликие части, АВ = а. Отрезок МВ равен…

А. Б. В. Г.

17. Прямая, пересекающая две параллельные стороны параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Стороны параллелограмма равны a и b, a<b. Отрезок прямой внутри параллелограмма равен …

A. Б. В. Г. числу отличному от приведённых

18. При каком условии средняя линия трапеции проходит через точку пересечения её диагоналей?

А. если трапеция равнобедренная Б. если трапеция прямоугольная

В. если диагонали взаимно перпендикулярны

Г. не проходит не при каких условиях

19. Боковая сторона трапеции, описанной около окружности с центром О, видна из точки О под углом …

A. 90° Б. 135° В. 60° Г. отличным от приведённых

20. Диаметр окружности виден из некоторой точки под тупым углом. Эта точка лежит…

А. на окружности Б. вне окружности

В. внутри окружности Г. ниже диаметра

21. К двум окружностям, находящимся в положении внешнего касания, проведены две их внешние касательные AB и CD и внутренняя MN . Какое соотношение верно?

А. AB > MN Б. AB = MN В. AB < MN

Г. любое из приведённых соотношений может быть неверным

22. К двум окружностям с центрами О и О1 , касающимся внешне в точке A, проведена общая внешняя касательная BC (В и С — точки касания). Угол ВАС …

А. = 120° Б. = 60° В. = 90°

Г. определить по этим данным нельзя

23. Через точку А касания двух окружностей проведена секущая ВС. Какое соотношение верно?

A. Б.

В.

Г. ответ зависит от радиусов окружностей

24. В прямоугольном треугольнике АВС на катете как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке Е. Через точку Е проведена касательная DE к окружности (DÎ ВС). Угол DBE равен углу …

А. СЕD Б. DEB

В. BCE Г. EDC

25. Дана окружность и точка А вне её. АВ и АС – касательные к окружности ( В и С – точки касания). D – середина дуги ВС в треугольнике АВС является точкой пересечения …

A. высот Б. медиан В. биссектрис

Г. серединных перпендикуляров к сторонам

26. Прямая MN касается окружности, описанной около треугольника АВС, DEêêMN. Угол BDE равен углу…

A. BAC Б. DEB

В. NBE Г. BCA

 

27. ABC — остроугольный треугольник, АА1 ^ ВС; ВВ1 ^ АС , Н — точка пересечения высот. Какие треугольники могут не быть не подобными треугольники?

A. BB1C и AA1C Б. BHA1 и CAA1

В. HAB1 и BCB1

Г. таких треугольников среди приведённых нет

28. ABCD — вписанный четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны, P — точка пересечения диагоналей. Из вершин А и В опущены перпендикуляры на CD, пересекающие BD и AC в точках K и L соответственно. Четырёхугольник AKLB …

A. трапеция Б. параллелограмм, отличный от ромба

В. ромб Г. имеет вид, отличный от приведённых

 

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

 

1.Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 9 см и ВС = 12 см.

1.1. Вычислите проекции катетов на гипотенузу.

1.2. Найдите радиусы окружностей, вписанной в треугольник и описанной около него. Проверьте, что сумма длин катетов равна сумме длин диаметров вписанной и описанной окружностей. Справедливо ли это соотношение для произвольного прямоугольного треугольника?

1.3. Проверьте, что медианы треугольника m1, m2, m3 удовлетворяют соотношению m12 + m22 = 5m32. Удовлетворяют ли этому соотношению медианы произвольного прямоугольного треугольника?

1.4. Докажите, что если для медиан m1, m2 , m3 некоторого треугольника выполняется соотношение m12 + m22 = 5m32, то этот треугольник прямоугольный.

1.5. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

1.6. Найдите периметр квадрата, вписанного в треугольник, и имеющего с ним общий угол.

1.7. Найдите биссектрисы углов треугольника.

1.8. Вычислите радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD, на который данный треугольник разделился перпендикуляром CD, опущенным из вершины прямого угла на гипотенузу.

1.9. Найдите радиус окружности с центром на гипотенузе; касающейся большего катета и проходящей через вершину противолежащего острого угла.

1.10*. Докажите, что биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла. Справедливо ли это утверждение для произвольного прямоугольного треугольника?

1.11*. Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан.

1.12*. Вычислите радиус окружности, касающейся одного катета и продолжений другого катета и гипотенузы.

2. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=20см, ВС=4см и высотой h = 6 cм.

2.1. Найдите боковые стороны и диагонали трапеции. Проверьте, что основания а, b, боковая сторона с и диагональ d удовлетворяю соотношению d2 = ab + c2. Справедливо ли это соотношение для произвольной равнобедренной трапеции?

2.2. Вычислите радиус окружности, описанной около трапеции. Всегда ли около равнобедренной трапеции можно описать окружность?

2.3. Выясните, можно ли в эту трапецию вписать окружность. Какое условие, необходимое и достаточное для того, чтобы в равнобедренную трапецию можно было вписать окружность?

2.4. Вычислите расстояние между серединами диагоналей трапеции.

2.5. Выясните, будут ли диагонали трапеции взаимно перпендикулярными.

2.6. Найдите отрезок MN прямой, параллельной основаниям, проведённой через точку пересечения диагоналей и пересекающей боковые стороны в точках M и N. Проверьте, выполняется ли равенство , где a и b — основания трапеции. Справедливо ли это отношение для произвольной трапеции?

2.7. Какую сторону трапеции пересекает биссектриса угла при большем основании: меньшее основание или боковую сторону?

2.8*. Вычислите длину перпендикуляра, проведённого через середину одной из боковых сторон к другой.

2.9*. Найдите длину отрезка, заключённого между точками пересечения прямых, соединяющих середину большего основания с концами меньшего, с диагоналями трапеции.

2.10*. Вычислите расстояние между точками, в которых окружность с центром на большем основании и касающаяся сторон AB, ВС, CD, касается боковых сторон AB и CD.

3. В окружности проведены два радиуса. Как провести хорду, чтобы она этими радиусами разделилась на 3 равные части?

4. В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см касательные к ним взаимно перпендикулярны. Вычислите длину их общей внешней касательной.

5. К двум окружностям радиусов R и r, находящимся в положении внешнего касания, проведены их общие касательные — внутренняя и две внешние. Точки касания их внешних касательных A, В, С, D последовательно соединены. Найдите длину отрезка внутренней касательной, заключённой между внешними касатель­ными.

6. В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках К1 и К2 , а другая — в точках L1 и L2 . Докажите, что прямая К1L2 высекает на этих окружностях равные хорды.

7*. Через точку А окружности с радиусом 10 см проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и АС. Вычислите радиус окружности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если АВ = 16 см.









Читайте также:

  1. Адреномиметики прямого действия.
  2. Башкирское общество в XV—первой половине XVI в.
  3. В целом в первой половине XIX в. Россия добилась впечатляющих успехов в области
  4. Вершины более трудно различать, чем основания
  5. Внешняя политика России в 1-й половине XIX в.
  6. Внешняя политика России в первой половине 19 века.
  7. Внешняя политика России во второй половине 18 века.
  8. Внешняя политика России во второй половине XVIII в.
  9. ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XX ВЕКА (1945 – 2000 гг.)
  10. Вопрос 12. Самодержавие в первой половине XIXв.:от либерализма Александра I к консерватизму Николая I. Отечественная война 1812г и Крымская война.
  11. Доход семьи сократился на 100 ден.ед., а потребительские расходы – на 80 ден.ед. Чему равна в данном случае предельная склонность к сбережению?
  12. Если две реакции из различных начальных состояний приходят к одному конечному состоянию, то разность их тепловых эффектов равна тепловому эффекту перехода из одного начального состояния в другое.


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-11; Просмотров: 366;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная