Определение 1. Абстрактную функцию будем на
зывать аналитической при X = 0, если она представима в некоторой окрестности точки к — 0 сходящимся степенным рядом
v (Ъ = ^ xkK' (I)
fc=o
с ненулевым радиусом сходимости.
Теорема 1. Если —аналитическая абстрактная функция при к = 0, то непрерывна в круге S«(0), где R— радиус сходимопи степенного разложения (1).
Доказательство. Заметим сначала, что если ре (О, R),
оо
то числовой ряд £ k || xk || сходится. Действительно, пусть
k= i
ре(р,У?). Тогда lUJp^^M, k = 1, 2, ... (см. доказательство теоремы Абеля). Далее,
k \\хк II р"-' = II р*} < 4- kqk~\
оо
где g = p/p< 1. Осталось заметить, что ряд £ kqk~l сходится (почему!1). Положим
C.(P)=I k\\ xk lip*"1.
k=\
Пусть теперь к, к0 е Sp (0). Тогда
оо
откуда || х (к) — х (Я0) С\ (р) | к — к01, и непрерывность х(к) в любой точке A9eS{(0) доказана.
□о
Следствие 1. Ряд £ kxkkk~l сходится в S,v(0).
Для доказательства достаточно взять ре(|Х|,/?) и восполь-
оо
зоваться сходимостью мажорантного ряда £ к || хк || иолу-
k=1
ченной в ходе доказательства теоремы 1.
Теорема 2. Если х(к)—абстрактная аналитическая функция при к = 0, то х(к) дифференцируема в круге S«(0) сходимости своего степенного разложения.
Доказательство. Заметим сначала, что ири pe(0, R)
оо
сходится числовой ряд £ k (k — 1)11 xk ||pfe_2 (доказательство
4 = 2
этого факта мы предоставляем читателю). Пусть сг(р)— сумма этого ряда. Далее воспользуемся элементарным тождеством
ft-l |
kX |
(j, — А, |
= k(k- 1) J (1 -6)1(1 - 6) Л 4- Ык~2 dQ fox-A,).
Отсюда при цДб5р(0) имеем
л! I Г l)p*-2|p-A,|.
Пусть £ ' = и (А.) (см. следствие 1). Имеем следую-
щую оценку:
I fe = 2 |
-«w |
< |
* (ц) - * (А,)
(х — А
< Ё ft (A - l)IU,||pft-2|p-X|<c2(p)|p-A|.
4 = 2
Отсюда видно, что функция х(Х) дифференцируема в Sr(0) и х'(Х )=и(Х).
k-i |
Следствие 2. Аналитическая абстрактная функция бесконечно дифференцируема в круге сходимости своего степенного ряда, причем
хФ{Х)= Z k(k — 1) ... (k-l + [)xkX
k-i
Доказательство получается многократным применением теоремы 2.
k\ |
Определение 2. Пусть х(А.) бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида
Z
л=о
называется рядом Тейлора функции х(Х).
Из изложенного выше следует, что если х(А.) аналитична при X = 0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы единственности п. 13.3, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней в 5«(0).
В заключение заметим, что если абстрактная функция л:(А) комплексного переменного X со значениями в комплексном банаховом пространстве X непрерывно дифференцируема, то она аналитична. Этот факт доказывается как и в теории функций комплексного переменного (см. [19]) на основе интегральной формулы Коши для абстрактной функции (см. [8]).
Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике mliоде малого параметра (см. пп. 13.5—13.7, а также п. 36.5).
13.5. Метод малого параметра в простейшем случае. Рассмотрим сначала следующее уравнение:
Ах — ХСх = у. (1)
Здесь А, Се2"(Х, У) и у Y заданы, X— скалярный параметр, |Я|-<р, а неизвестное х разыскивается в X. Если ЦЯСЛ-ЧК 1, т. е.
икисл-чг1. (2)
то, согласно п. 12.5, оператор А — АС непрерывно обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой
х (X) = (А — АС)-1 у. (3)
Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра X и, следовательно, может быть найдено в виде
оо
х(Х)=£ XkXk. (4)
k = 0
На этой идее основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях X в правой и левой частях получившегося тождества:
оо оо
2 АхкХк = у + I CxkXk+>.
k = О k = 0
Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения х0, хи ... :
Ах0 — у, Axi = Схо............ Ахь = Схь ...
Так как Л непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим
*о = А-\/, х, = Л-'(СЛ-'Ь................... xk = A"' (CA~l)h у, ...
Следовательно,
xW=Z A-[{CA~')kyXk- (5)
Читатель легко убедится, что мы получили решение (3), Разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать
степенной ряд и ограничиться приближенным решением
х Z А-1(СА-1)куХ\ (6)
ft=о
то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим
I A~l{CA~lY уХк
|x(A)-xrt (X) ||-= |
с |
k=n+1
i - щЦсл-11|
1.3.6, Метод малого параметра в общем случае. Приведенные выше рассуждения являются наводящими при изучении следующего общего случая. Пусть дано уравнение
А(Х)х = у(Х). (1)
Здесь А(Х)^ 3? {X, Y) задана при каждом X, |А.|<р, или, как говорят, А(X) — оператор-функция. Пусть А(X) аналитична при X = 0, а оператор <4(0) непрерывно обратим, у(Х) — заданная аналитическая функция X при X = 0 со значениями в У. Неизвестное х разыскивается в X.
Аналитичность А (А) и у{Х) в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны р' и р соответственно:
ОО ОО
А(Я)=Еа,аЛ y(X)=Y ykXk. (2)
ft=0 ft-о
Из аналитичности А (А.) следует непрерывность А (А.) при X = 0. Следовательно, найдется число г > 0 такое, что в круге
1М< г
||[А (А) — А (0)] А-1 (0)|| < 1.
Отсюда вытекает, что в круге \X\<Lr оператор-функция А (А) непрерывно обратима (см. п. 12.1) и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение
х {X) = A~l (X) у (А);
при этом г(А) аналитична в точке X = 0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min(p,r). Для фактического построения х(Х) удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать л:(А) в виде
оо
х(Х)=£ хкКк. (3)
л-о
Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для иеопределпшых коэффициентов а'о, х\, х2, ... :
ЛцГ0 = Уо, Л0х, -f Atx0 = IJи
Уп |
Л„х2 + А,х, -f А,хо = уь (4)
АкХ,2 __ fe —
Здесь Ло = А (0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим
xo = Ao\jo, X, = /W'yi — AolA\A$\jb, ■■■ (5)
Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности.
Как уже было отмечено выше, радиус сходимости ряда, полученного методом малого параметра, равен R = min (р, г), причем R не зависит от р' — радиуса сходимости степенного разложения оператора А (к). Дело в том, что метод малого параметра применим, как мы увидим ниже, и в случае неограниченной оператор-функции А (к).
Для оценки радиуса сходимости R ряда (3) снизу можно воспользоваться леммой из п. 13.3. Пусть нам удалось получи 1ь оценки
I Л„Ло"1 Я" 4=1 |
11у„Н<М|(Л ii/Mo-'lkMp"-1 («> 1). Тогда, согласно лемме, р^а-1. Кроме того, || [Л (к) — А (0)] X
ХЛ-'(0)|| = если | Я | <
уи + р '
В результате мы получаем оценку R снизу:
min (а"1, (М + рГ1)- (6)
Упражнение. Показать, что если Л (Я) = Лс-f ЯЛi и
llj/JK^a", II А]Ло"' I^ М, то оценку (6) можно заменить более точной:
Я > min (a"1, ЛГ1)-
Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, Когда обращение оператора Л(0)—задача более простая, чем задача обращения оператора Л (Я).
13.7. Пример к методу малого параметра. В качестве примера на применение метода малого параметра рассмотрим следую-
151
щее интегральное уравнение с малым вещественным параметром X:
л
Х У) — 2лГ \ cos (t — s+ kts) x(s)ds = у (!), (1)
-я
которое мы можем интерпретировать как линейное операторное уравнение в С\—я, it] вида (1) п. 13.6. Заметим сначала, что
cos (t — s + Its) = (ts)k cos ({ — s + Xts -f k-j ) Следовательно,
cos (t — s + Xts) = £ (ts)k cos (t — s + k -2-) X".
Таким образом, операторные коэффициенты Ak имеют здесь вид
п
А0Х = X (/) — ~ ^ cos (/ — s) X (s) ds, (2)
— л
л
Akx = --~ 5 (tsf cos (^t - s + k y) X (s) ds, k=l, 2, ...
-n
Начнем с уравнения А0х0 = у системы (4) п. 13.6, где у нас теперь уо = у, Ук = 0, Это уравнение представляет со
бою интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром
л
W ~ 2V \ C0S С ~~ ds = У (3)
-я
Действительно, cos(/ — s) = cos / cos s + sin t sin s, поэтому
x0{t) = y(t) +Acost + Bsint, (4)
где
n n
A = 2л~ S б = ^ xj(s) sin sds. (5)
— я —я
Умножим равенство (4) па cos t и, интегрируя по t от —я до я, пользуясь (5) найдем
л
Л = ^ y(s)coss ds.
-я
Аналогично,
л
В = ~ ^ у (s) sin s ds.
- л
Следовательно, (4) принимает вид
л
Хо (t) = y(t) + -^- \ cos (/ - s) у (s) ds. (6)
-л
Приведенные выше рассуждения показывают, что уравнение А0хо = У имеет в С[—л, л] единственное решение и это решение дается формулой (6). Следовательно, существует оператор определенный всюду на С[—л, л). Далее (все нормы — в С[—л, я]),
л
11*011= IVylklliMI + T niax \ \ cos (t-s)\ds\) у
п <е[-л,я|
Следовательно,
||Л7'|< 1 4-4/л. Второе уравнение системы (4) п. 13.6 имеет вид Апх\ = =—А\Хо, или, подробней,
л л
х\ (/) — ^ cos (/ — s) х\ (s) ds = — "2^- ^ ts sin (t — s) x0 (s) ds,
— л — л
где .vo(s) уже определено формулой (6).
Это снова уравнение вида (3), и его решение также можно найти явной формулой. Так, последовательно, определяются все коэффициенты ряда (3) п. 13.6. Дадим грубую оценку его радиуса сходимости R.
Нетрудно убедиться, что
IMftlK^O^^nfn2)*"1 и, значит, +
Согласно формуле (6) п. 13.6 R
л2 + 2л + 8
§ 14.Метод продолжения попараметру
14.1. Формулировка основной теоремы. В качестве еще одно! о приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения по паоаметру. Пусть A, Be *=<?(Х, У) и А непрерывно обратим. Если ||В — ЛНСИЛ-'Ц-', то, согласно теореме п. 12.5, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывною на отрезке [0,1] оператор-функцию А(Х) гакую, чго Л(0) = Л, Л (1) = В, Иначе говоря, в ~2f(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки Л и В. Будем предпо- латать, что для оператор-функции Л (л) выполняется следующее условие:
I. Существует постоянная у>0 такая, чго при всех Ig е[0, 1] и при любых л: е X справедливо неравенство
\\А{Х)х\\^у\[х\\. (1)
Ниже будет доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть Л (А,)—непрерывная на [0, ij опсратор- функция (при каждом а е [0, 1] А (X) е S (X, У)), причем оператор .4(0) непрерывно обратим Если для А(X) выполняется ус-пзие I, то Л(1) непрерывно обратим, причем \\A~l (1) || ^
Доказательство этой теоремы мы проведем в двух случаях. в частном случае, когда Л(Х) = (1—У.)А-\-ХВ, т. е. Л (А,) — отрезок, соединяющий Л и В, и в общем случае. Будут приведены также некоторые приложения метода к дифференциа ть- пым уравнениям. Заме! им сначалч чю из условия I вытекает 1_иедующип факт.
Замечание. Сели выполнено условие I при X = Х0 е е[0, 1] и оператор Л(>. 0) непрерывно обратим, то
M-'^ll^Y"1- ^
Действительно, пусть х е X, а у = Л (Ао)х, т, е. х = А~1 у. Тогда условие I дает \\y\i у|| А~1 (Хп)у\\ или ЦЛ"1 (А0)у\\ ^ чт0 означает справедливость неравенства (2).
14.2. Простейший случай продолжения по параметру. Приведем здесь доказательство теоремы п. 14.1 для случая, когда А(Х) = ( 1—Х)А-\~ХВ Согласно условию этой теоремы Л^1 <= е2?(У, X). По замечанию п. 14.1 ЦЛ-'II^Y-1- Имеем следующую оценку:
|| [Л (X) - A (0j] А"1 (0, || = ||Я (fl - Л) А~[ 1 < Ху~11| fl - Л |!.
Пусть X е [0, б], где 6 = 9 цй I. ,qj~ • Па [0,6] имеем
|| [Л (Л-)— Л (0) ] Л-1 (0)||^ 1/2, и, следовательно, по теореме и 12.5 Л (X) при всяком ).е|0, б] непрерывно обратим. Если окажется, что 6 ^ 1, то теорема доказана.
Пусть б С 1. Возьмем Л(б). Согласно замечанию п. 14.1 ЦЛ-1 (6) || ^ Y- Повторяем наши рассуждения при X > б Имеем оценку
[ Л (А) - Л (6)1 /1 - Чб) 1 < Y -1 II Л (X) - Л (б) II =
= у~1(Х-6)\\В-А\\^
если X е [б, 26], откуда А (X) непрерывно обратим при каждом X е [б, 26]. Если 26 ^ 1, то георема доказана Если же 26 < 1, то (|/Н(26)||< Y-1 и рассуждение можно повторить. После конечного числа шагов мы достигаем точки X — 1, и, следовательно, А(1) непрерывно обратим.
14.3. Доказательство теоремы в общем случае. Рассмешенный выше частный случай отрезка в 2(Х, Y) гс всегда утобен в приложениях. Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.
Лемма. Пусть ЗД — некоторое неш/стое множество на ГО 1], одновременно открытое ч юмкнигое на ГО, 1]. Тогда
аи=[о, 11.
Замечание 1. Условие открытости ЭД на [0, 1] понимается так: для любого vn е ЗЛ существует 6 >0 такое, что S4(Xo)fl nS4(*o)n[0,l] <=9ЯП[0, 1]/
Доказательство леммы. Пусть 91 = [0. 1 ] \ 2Я (дп. .л- ненне к на [0, 1]). Нужно доказать, что 9? = 0 — щпое м 'о- жество. Допустим противнее, что 9? ф 0. Поскольку Ш? ф 0 и ограничено сверху, то существует b = siip£4, пением ЛеЧ вследствие замкч\тости Покажем, что b = 1 Если b < !. то вследствие открытости 9)? на [0. 1] найдется v _> b л <= [Г? противоречит определению «ирЗЯ. Следовательно, < ] гепоз- можно. Итак, I е Ш
Теперь рассмотрим множество 9? Как дополнение к 9ft, гпо также открыто п замкнуто па [0,11, и. значит, к нему пр : *.е- нимо рассуждение с MipSZ Мы получаем, по I <= Это невгз- можно, ибо 9} — дополнение к 91?. Полученное противоречие доказывает, что допущение 9? Ф 0 неверно Итак, 9J = 0, т. е. 5Ш = [0, 1]. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы. П\сп, SPJ — множество тех точек Х<=[0, 1], для которых очерато» ,1IX) чегпепь'рмо обратим. Согласно замечанию 1 1М~' (Я.) II ^г тля всех W не пусто, поскольку 0 ОТ
Докажем, что Ш открыто на [0, 1]. Пусть е 1, тогда для всех X е[0, 1]
|'[Л (X) — А (Х0)] А -1 (Яо) I! < V"' М < м - / ' М ||.
Воспользуемся непрерывностью оператор-функции А (XI в метрике 2 (X, Y). Для любого f > 0 найдется 6 = 6 (е) > 0 такое, что при всех Хе[0, 1] таких, что |Х — Хп|< б, выполняется неравенство ||Л (X) — Л (Х0) || < е
Возьмем е = у, тогда при |Х —Хо|<б(у), Хе[0, 1]
Р[Л (X) — А (Х0)] Л-' (Я0)" < 1.
По теореме л. 12.5 А{Х) непрерывно обратим для всех таких X. Итак, вместе с Х0 9J! содержит 54(v)(Xo)n[0, 1], т. е. 5Ш открыто на [0,1].
Докажем, что замкнуто на [0, 1]. Пусть {Х,,}с:ЭД и L, —>- Х0 при п-*- оо. Надо доказать, что Хо е 9Н. Воспользуемся неравенством Ц/4-1 (Хп) II ^ V-1 и получим
S [ А (Хп) - А (Х0)] А(Я,„) II < у~1 \\А (Хп) - А (Х0) ||.
Вследствие непрерывности А (X) по X для любого е>0 нахо- днм номер /V = /V(e) такой, что при n>N будет |!Л(Л,п) —■ — Д(Х0)||<е. Возьмем е = у. тогда для n — N(y) + 1 II [/4 — Л (Хо) ] Л-1 (Хи) || < 1.
По теореме п. 12.5 А (Х0) непрерывно обратим, т. е. Хо <= ЯЛ, и, значит, Т1 замкнуто на [0, 1]. По лемме 2Я = [0, 1]. В частности, lei и ||/М (1) || ^ у-1. Теорема полностью доказана. Замечание 2. Рассмотрим уравнение с параметром:
А(\)х = у, Я, ?=[0,11. (1)
Пусть для всех возможных решений этого уравнения при всяком Хе[0, 1] справедлива оценка
11*11<с|1уН. Г2)
где с — некоторая постоянная, не зависящая от х, у и X. Оценка такого рода называется априорной оценкой для решений уравнения (П. Очевидно, апрнорпая оценка (2) представляет собой лишь иначе записанное условие I п. 14.1.
|| Л(Х)х||>с-|||л-||.
Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений.
14.4. Примеры применения метода продолжения по параметру. Изложенный выше метод продолжения по параметру является упрощенным вариантом известного метода Шаулера, нашедшего широкие применения в теории краевых задач для уравнений с частными производными эллиптического типа. Мы ограничимся здесь примерами чисто иллюстративного характера.
Пример 1. Рассмотрим следующую краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка:
- х" + Ь Ц) х' + с (/) jc = // (/). 0</<1, (1)
х(0)= v (1) = 0. (2)
Здесь r(t) непрерывна на [0,1], bit) непрерывно дифференцируема па [0,11- Предположим еще, что на [0,1]
с (t) }&'(0>а> --§-.
Ниже будет показано методом продолжения по параметру, что в этих условиях при всякой правой части у е У = С [0, 1]
существует единственное решение задачи Jt^.Y = C2[0, 1] — пространству, состоящему из дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций удовлетворяющих граничным условиям (2), и с нормой ||x||=|UlU +IU'IU +IU"llfc, где ||*||t = = max | л; (0 |. ю, 11
Запишем задачу (1) — (2) в операторном виде:
Вх = у.
d2 d
Здесь В =------ + b (t) -gj- + с (t) определен всюду на X со зпа-
d2
чениями в V. В качестве оператора А примем А = —е е=&(Х, Y).
Упражнение 1. Покажите, что при каждом t/ <= У краевая задача —х" — у, х(0) = х(1) = 0 имеет единственное решение леХи что А непрерывно обратим. Соединим операторы А и В отрезком
А(Х) = --^ + Xb(t)-^ + Xc(t), Х<=[0,1].
Упражнение 2. Покажите, что А (X) — непрерывная оператор-функция на [0, 1].
Наша цель — установить априорную оценку для решений краевой задачи
— х" + Kb (/) + Хс (0 * = у (0, 0 < / < 1, (3)
*(0) = *(1) = 0. (4)
Как только такая оценка будет получена, из теоремы п. 14.1 сразу же будет следовать однозначная разрешимость краевой задачи (3) —(4).
Умножим уравнение (3) на x(t) и проинтегрируем полученное равенство по t от 0 до 1. Замечая, что с учетом граничнык условий (4)
I 1
- J dt = J хл (t) dt,
о о
а
I 1
J й (/) * (t) х' (0 dt = - у J b' (t) х2 (/) d.
о о
получим
1 1 1
5 (0л + д. $ [с (0 - ! Ь' (/)](/) dt = \y(t)x (t)dt. (5) 0 0 о
Произведем опенку всех трех слагаемых в этом равенстгс. Докажем, что
| 1
[ х'2 (/) А > | J л2 (/) dt,
с о
S) |
I х (s) I |
\[с U) ~ \ // М[2] X2d) > a J А2 (О Ф.
для любого е > р Г
j и О") -V- (/) dt С е ^ Л-2 (/) dt + ~\ у1 (I) dt.
Д 1я доказательства неравенства (6) заметим, что jc(s) = ^ x'(t)dt, и, значит, по неравенству Коши — Буняковского
(и) at < j [dis\ ((г' ■■ и) £/Л < (J (о л) .
(9) |
11 м / *n J \p
Точно так же
О |
' ' ! \ьг
(t) dt j .
Перемножая эти пер г шепотка, получим
i
Л2(s) < Vs(l — s) J хл (0 dt.
I
Отсюда, замечая, что ^ -\/s (1 — s) ds — л/8, получим
j
S) '7) |
(i
(10)
Неравенство (7) есть следствие предположения с — b'/2 ^ ;> а. Наконец, неравенство (8) доказывается из рассмотрения скалярного квадрата
[ \/Р, X------- ;= и ------ г- //
где (и, v) = ^u(t)v(t)dt. |
2 л/е |
У 2 -у е v
Подобные неравенства принято называть z-неравенствами. Такие неравенства час/о бывают полезны при получении априорных оценок в задачах математической физики.
Упражнение 3. Докажите справедливость е-неравенства (8).
Используя неравенства (б), (7) и (8) и равенство (5), получим
[ I
+ а-e)\x2(t)dt^^\y2(t)dt
о и
или, считая е > 0 достаточно малым, имеем
I I
\ х2 (/) dt < '--- — ii if yi) dt.
i 4(- + a-e)8oJ
Выберем e = eo = ~ + Y и получим i
о 0 |
где с \
(W
Воззращаясь теперь к равенству (5), получим из него следующую 1,",енку:
| 1 о о
где с2 = |с (t) — jb'{t) — с '!„, а с3=1/4е0.
,1/2
Далее, из оценки (9) имеем | х (5) К —
значит, учитывая, что! \ у2 {t) dt \ <||г/||ь получим |
д/2
и,
II * lift < д/-^^tii И у (11)
Теперь уже легко получить оценки для IU"|U и Hx'IU- Из уравнения (3) имеем
II х" ||fe < || b lift || х ||ft + || с ||ft || x |lfe + || г/ ||fe. (12)
Ho Ik'IU оценивается через |U"||«.. Действительно, x(0) — x(l) = = 0. По теореме Ролля на (0,1) найдется £ — точка, в
I i \ X2 (0 di < c, J y2 (/) dt, |
159
которой *'(£) —0. Тогда, записывая уравнение (3) в виде exp Я b (s) ds^j j = [Яс (t) x (t) - у (/)] exp Я ^b (s) ^
n интегрируя его от | до s, получим
- X J ft (s) ds j [Яс (8) x (6) - у (в)] dt.
Отсюда имеем оценку
ехр^—Я ^ b (s)ds^ |
II х' < ш (|| с \\k!! х + || у у, (13)
где т = max
I, s, И е |0, 1|
Теперь (11), (12) и (13) дают
Н*Г* + IU' +
(постоянную Са нетрудно подсчитать). Искомая априорная оценка получена.
Замечание. Оценку (6) методами вариационного исчисления можно уточнить и показать, что
1 I
J х'2 (/) dt > Л2 J Х! {() dt. (14)
о о
Упражнение 4. Опираясь на оценку (14), докажите, чго задача (I) — (2) однозначно разрешима при условии
с (I)- j b'(t)> -л2 на [0,1].
Упражнение 5. Покажите, что ecmic(t)s=—л2, b(t)=Q, то оператор В не является непрерывно обратимым.
Пример 2. Рассмотрим снова краевую задачу (1) — (2) в тех же пространствах X и У, однако предположим, что c(t) ^ ^ 7 > 0 на [0,1].
Рассмотрим теперь следующую краевую задачу с параметром Я е[0, 1]:
-х" + b(Xt)x' + c(Xt)x = y(t),
х (0) = л- (1) = 0. ( '
(Предлагаемый прием иногда называют методом замораживания коэффициентов.) При Я = 1 получаем нашу задачу (1) —
160
(2). При Я = 0 получаем задачу с постоянными коэффициентами:
-х" + Ь(0)х' + с(0)х = у(1),
х(0) = х(1) = 0. ^ '
Пусть X и У— банаховы пространства, введенные в примере I. Запишем задачу (15) в операторном виде А{к)х = у, где 2
оператор — функция со значениями в 2{Х, У).
Упражнение 6. Методом вариации произвольных постоянных покажите, что краевая задача (16) имеет единственное решение п, таким образом, оператор А(0) непрерывно обратим.
Чтобы воспользоваться теоремой о продолжении ио параметру и доказать однозначную разрешимость задачи (1)—(2) нужно еще получить априорную оценку решений задачи (15). Для этого воснользуе.мся принципом максимума. Так как х(0) = л*(1) = 0, то в точке t° положительного максимума x{t)' на [0, 1], если она существует, x'(t°)=Q, х" (t°) <. 0, и потому (см. (15)) справедлива оценка
Аналогично, в точке to отрицательного минимума х(1) на [0, I], если она существует, имеем
— V~l\\y\\k<x(t0). Объединяя эти оценки, получим
Дальнейшие рассуждения такие же, как в примере I. Задачи.
Докажите следующие утверждения.
1. Пусть Л„->-А при п-+оо равномерно. Для того чтобы А был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы
1) А„ были непрерывно обратимы, начиная с некоторою номера;
2) {-4"1} была ограничена.
2. Пусть оператор-функция определена при 0< 11 — < б0 и Л (0 А0 при t }а. Для того чтобы Ао был непрерывно обратим, необходимо н достаточно, чтобы при 0 < 11 — <0| < Si sg; б
1) A(t) были непрерывно обратимы;
2) ||А-'(ОН с-
3. Пусть c(t) непрерывна и положительна на [0, 1]; тогда красная задача —х" + с(?) = y(t), х(0) = А'(1), х' (0) =х'(1) имеет едннсгвешюе решение.
6 В. А, Треногин 101