Лекции.ИНФО


Характеристика временных рядов. Определение тренда в динамическом ряду экономических показателей.



Методы математической статистики широко применяются для анализа экономических временных рядов.

В общем случае временной ряд содержит детерминированную и случайную составляющие:

уt=f(t,хt)+et, t=1,…,Т,

где уt– значения временного ряда; f(t,хt) – детерминированная составляющая; хt – значения факторов, определяющих детерминированную составляющую в момент t; et – случайная составляющая; Т – длина ряда.

Получив оценки детерминированной и случайной составляющих, решают задачи прогноза будущих значений, как самого временного ряда, так и его составляющих.

Если детерминированная составляющая зависит только от времени и линейна относительно своих параметров, то задача сводится к задаче множественной линейной регрессии, рассмотренной выше.

Действительно, в этом случае

уt=a0+a1j 1(t) +a2j 2(t) +…+amjm(t)+et, t=1,…,Т. (4.1)

В частном случае,

уt=a0+a1t1 +a2t2 +…+amtm+ et, t=1,…,Т. (4.2)

Детерминированная составляющая (называемая трендом), в свою очередь представляется тремя составляющими.

Эволюторно изменяющаяся долговременная составляющая есть результат действия факторов, которые вызывают постепенное изменение экономического показателя. Например, научно-технический прогресс, совершенствование системы управления производством вызывают рост показателей эффективности производства, а удельные расходы на единицу полезного эффекта при этом снижаются.

Циклическая долговременная составляющая проявляет себя на протяжении длительного периода времени в результате воздействия факторов, изменяющихся циклически во времени и обладающих большим последействием. Например, кризисы перепроизводства или периодичность солнечной активности, влияющая на урожайность.

Циклическая сезонная составляющая просматривается в колебаниях продуктивности сельскохозяйственных животных, в изменениях розничного товарооборота в зависимости от времени года.

Эволюторно изменяющаяся долговременная составляющая во многих практических случаях представляется в виде некоторой аналитической функции (см. ниже), тогда как долговременная и сезонная циклические составляющие представляются периодическими функциями.

Для построения эволюторных трендов (моделирования тенденции) чаще всего применяются те же функции, которые мы рассматривали выше:

- линейный тренд: ŷt=b+at;

- гипербола: ŷt= b+a/t;

- экспоненциальный тренд: ŷt= е b+at (или ŷt=bat);

- степенная функция ŷt= bta;

- полином порядка m: ŷt= b + a1t + a2t2 +…+ amtm.

Параметры каждой из перечисленных выше функций можно определить с помощью МНК, используя при этом независимую переменную t(время). Для нелинейных функций предварительно проводят процедуру их линеаризации.

Пример 4.1. Имеются помесячные данные о темпах роста заработной платы в РФ за 10 месяцев 2008 г. в процентах к уровню декабря 2007г. (табл. 4.1). Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры.

Таблица 4.1

месяц
Темп роста з/платы 82,3 87,3 99,4 104,8 107,2 121,6 118,6 114,1 123,0 127,3

Определим параметры основных видов тренда. Результаты этих расчетов представлены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Тип тренда уравнение R2
Линейный ŷt= 82,66 + 4,72t 0,887
Парабола ŷt= 72,9 + 9,599t – 0,444t2 0,937
Степенной lnŷt= 4,39 + 0,193lnt 0.939
Экспоненциальный lnŷt= 4.43 + 0.045t 0.872
Гиперболический ŷt= 122.57 – 47.63/t 0.758

Наилучшей является степенная форма тренда, которая в исходном виде (после потенцирования) примет следующий вид

ŷt= е4.39t0,193

или ŷt= 80,32t0,193.

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов.

Параметры линейного тренда можно интерпретировать так:

b – начальный уровень временного ряда при t=0;

a – средний за период абсолютный прирост ряда.

Применительно к вышеприведенному примеру можно сказать, что темпы роста месячной заработной платы за 10 месяцев 2008г. изменялись от 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом 4,72%.

Параметры экспоненциального тренда имеют следующую интерпретацию:

b – начальный уровень временного ряда при t=0;

еa– средний за период коэффициент роста ряда.

В примере уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид

ŷt= е4.43е0,045t

или ŷt= 83,96е0,045t.

Следовательно, можно сказать, что темпы роста месячной заработной платы за 10 месяцев 2008г. изменялись от 83,96% со средним за месяц темпом роста, равным е0,045= 1,046.


Моделирование циклических и сезонных колебаний.

Общая форма аддитивной модели:

Y= T + S + E,

где Т – трендовая составляющая, S – сезонная составляющая, Е – случайная компонента.

S может моделироваться с помощью тригонометрических функций, однако можно обойтись и более простым способом, суть которого разберем на простом примере.

Пример5.2. Пусть известны объемы потребления элек/энергии жителями района за четыре года (табл.4.3).

Таблица 4.3

№ квартала Потребление элек/энергии Всего за 4 квартала Средняя скользящая за 4 квартала Средняя центрированная скользящая Значение сезонной составляющей
6,00 - - - -
4,40 24,40 6,10 - -
5,00 25,60 6,40 6,25 –1,250
9,00 26,00 6,50 6,45 2,550
7,20 27,00 6,750 6,625 0,5750
4,80 28,00 7,00 6,875 –2,0750
6,00 28,80 7,20 7,1 –1,10
10,00 29,60 7,40 7,3 2,70
8,00 30,00 7,50 7,45 0,550
5,60 31,00 7,750 7,625 –2,0250
6,40 32,00 8,00 7,875 –1,4750
11,00 33,00 8,250 8,125 2,8750
9,00 33,60 8,40 8,325 0,6750
6,60 33,40 8,350 8,375 –1,7750
7,00 - - - -
10,80 - - - -

Приведенный временной ряд содержит данные о сезонных колебаниях периодичностью 4 квартала (потребление электроэнергии осенью и зимой выше, чем весной и летом).

Шаг 1. Произведем выравнивание исходных данных методом скользящей средней:

а) просуммируем уt за каждые 4 квартала последовательно со сдвигом на один квартал (гр.3 табл. 4.3);

б) разделив полученные суммы на 4, определим скользящие средние значения (гр.4 табл. 4.3);

в) приведем эти значения к соответствующим кварталам, для этого получим средние значения двух скользящих последовательных средних – средние центрированные скользящие (гр. 5 табл.4.3).

Шаг 2.Определим оценки сезонной составляющей (гр.6 табл. 4.3). Определим средние оценки сезонной составляющей за каждый квартал:

Š1=(0,5750+0,55+0,675)/3=0,6;

Š2=(–2,0750 – 2,0250 – 1,7750)/3= –1,958;

Š3=(–1,250 – 1,10 – 1,475)/3= –1,275;

Š4=(2,55+2,7+2,875)/3=2,708.

Сумма всех значений сезонной составляющей за все кварталы должна равняться нулю, а у нас получилось 0,60 – 1,9580 – 1,2750 + 2,7=0,075, поэтому находим корректирующий коэффициент k=0,0750/4=0,018750. Окончательно определяем сезонную компоненту Si = Ši– k.

Таким образом, получаем

S1 =0,581; S2 = –1,979; S3 = –1,294; S4 =2,69.

Полученные значения занесем в табл.4.4 по соответствующим кварталам (гр.3).

Таблица 4.4

t yt St T+E= yt –St T S +Т E=yt –( S +Т) E2
6,00 0.5810 5.4190 5.9020 6.4830 –0.4830 0.23330
4,40 –1.9770 6.3370 6.0880 4.1110 0.2890 0.08350
5,00 –1.2940 6.2940 6.2750 4.9810 0.0190 0.00040
9,00 2.690 6.310 6.4610 9.1510 –0.1510 0.02280
7,20 0.5810 6.6190 6.6480 7.2290 –0.0290 0.00080
4,80 –1.9770 6.7770 6.8340 4.8570 –0.0570 0.00320
6,00 –1.2940 7.2940 7.020 5.7270 0.2730 0.07450
10,00 2.690 7.310 7.2070 9.8960 0.1040 0.01080
8,00 0.5810 7.4190 7.3930 7.9740 0.0260 0.00070
5,60 –1.9770 7.5770 7.580 5.6030 –0.030 0.00090
6,40 –1.2940 7.6940 7.7660 6.4720 –0.0720 0.00520
11,00 2.690 8.310 7.9520 10.6420 0.3580 0.12820
9,00 0.5810 8.4190 8.1390 8.720 0.280 0.07840
6,60 –1.9770 8.5770 8.3250 6.3480 0.2520 0.06350
7,00 –1.2940 8.2940 8.5190 7.2180 –0.2180 0.04750
10,80 2.690 8.110 8.6980 11.3880 –0.5880 0.34570

Шаг 3. ВычисляемT+E= yt – St (гр.4).

Шаг 4. По данным графы 4 строим линейный тренд Т=5,715 + 0,186t. Подставляя в это уравнение t=1,2,…16, находим Т (гр. 5).

Шаг 5. Находим теоретические значения S+Т (гр. 6).

Шаг 6. Вычисляются ошибки модели и их квадраты (гр. 7 и 8).

Статистика Дарбина-Уотсона

Моделирование временных рядов нередко встречает ситуацию, когда остатки et содержат тенденцию (возрастают или убывают со временем) или циклические колебания. В этом случае имеет место автокорреляция остатков (см. 1.6.). Существует два наиболее распространенных способа определять автокорреляцию остатков. Первый способ – построение зависимости остатков по времени и определение по графику наличия автокорреляции или ее отсутствия. Второй способ – использовать критерий Дарбина – Уотсона, при этом необходимо рассчитать величину

(4.3)

Критерий Дарбина–Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков связаны соотношением

d»2(1 – re).

Значит, если (re=1), что соответствует полной положительной автокорреляции, то d=0. При полной отрицательной корреляции в остатках (re= –1) получимd=4. При отсутствии автокорреляции остатков (re=0) d=2.

Порядок применения критерия Дарбина–Уотсона следующий. Сначала задается уровень значимости a. В таблице значений критерия Дарбина–Уотсона (приложение 3) определяются для количества наблюдений n и количества независимых факторов k критические значения dl и du. Получаем пять интервалов для значения d.

- если 0 £d£dl, то имеется положительная автокорреляция остатков;

- если dl£d£du, то это зона неопределенности (на практике предполагаем положительную автокорреляцию остатков);

- если du£d£(4 – du), то отсутствует автокорреляция остатков;

- если (4 – dud£(4 – dl), то это зона неопределенности (на практике предполагаем отрицательную автокорреляцию остатков);

- если (4 – dld£4, то имеется отрицательная автокорреляция остатков.

Пример4.3. Проверим гипотезу о наличии автокорреляции остатков для модели зависимости расходов на конечное потребление от совокупного дохода. Исходные данные и результаты промежуточных расчетов для критерия Дарбина-Уотсона приведены в табл.4.5.

 

 

Таблица 4.5

Год
Расходы, у 7,0 8,0 8,0 10,0 11,0 12,0 14,0 16,0
доход, х 10,0 12,0 11,0 12,0 14,0 15,0 17,0 20,0

у= –2.05+0,92х+et.

Год
ŷ 7,15 8,99 8,07 8,99 10,83 11,75 13,59 16,35
et –0,15 –0,99 –0,07 1,01 0,17 0,250 0,41 –0,350
et – et-1 - –0,84 0,92 1,08 –0,84 0,08 0,160 –0,76
∑(et)2=2,4095 ,0225 ,9801 ,0049 1,020 ,0289 ,0625 ,1681 ,1225
∑(et-1 – et)2=4,0336 - ,7056 0,846 1,166 ,7056 ,0064 ,0256 ,5776

Имеем d=4,0336/2,4095=1,674.

Пусть a=0,05, по таблице (приложение 3) для n=8 и k=1 (однофакторная модель) находим критические значения критерия dl =0,76, du =1,33. Так как в нашем случае 1,33 £ 1,674 £ 4 – 1,39=2,61, то автокорреляция в остатках отсутствует.

 

Практический блок

Пример1. Имеется статистика данных о продажах и прибыли на электронной торговой площадке b2b подшипниковой продукции для предприятия N по месяцам за 2009-2010 год.

Месяц п/п Сумма выигранных позиций руб.
150 687,51
112 672,31
108 478,31
126 212,45
160 733,45
166 237,47
81 093,86
312 046,05
159 526,98
407 850,32
170 500,31
238 320,70
264 304,00
526 982,00
492 614,00
309 461,88
277 449,85
170 205,00
119 751,80
209 008,96
239 784,81
279 222,15
148 909,00
172 169,52

Из исходных данных видно, что сумма выигранных позиций носит сезонный характер.

Шаг 1. Произведем выравнивание исходных данных методом скользящей средней:

а) просуммируем уt последовательно за каждые 4 месяца со сдвигом на один;

б) разделив полученные суммы на 4, определим скользящие средние;

в) приведем эти значения к соответствующим месяцам, для этого вычислим средние значения двух последовательных скользящих средних, найдем центрированные скользящие средние.

Месяц п/п Сумма выигранных позиций руб. Итого за 4 месяца Скользящая средняя за 4 месяца Скользящая центрированная средняя Оценка сезонной скользящей компоненты
150 687,51 - - - -
112 672,31 498 050,58 124512,645 - -
108 478,31 508 096,52 127024,13 125768,3875 -17 290,08
126 212,45 561 661,68 140415,42 133719,775 -7 507,33
160 733,45 534 277,23 133569,3075 136992,3638 23 741,09
166 237,47 720 110,83 180027,7075 156798,5075 9 438,96
81 093,86 718 904,36 179726,09 179876,8988 -98 783,04
312 046,05 960 517,21 240129,3025 209927,6963 102 118,35
159 526,98 1 049 923,66 262480,915 251305,1088 -91 778,13
407 850,32 976 198,31 244049,5775 253265,2463 154 585,07
170 500,31 1 080 975,33 270243,8325 257146,705 -86 646,40
238 320,70 1 200 107,01 300026,7525 285135,2925 -46 814,59
264 304,00 1 522 220,70 380555,175 340290,9638 -75 986,96
526 982,00 1 593 361,88 398340,47 389447,8225 137 534,18
492 614,00 1 606 507,73 401626,9325 399983,7013 92 630,30
309 461,88 1 249 730,73 312432,6825 357029,8075 -47 567,93
277 449,85 876 868,53 219217,1325 265824,9075 11 624,94
170 205,00 776 415,61 194103,9025 206660,5175 -36 455,52
119 751,80 738 750,57 184687,6425 189395,7725 -69 643,97
209 008,96 847 767,72 211941,93 198314,7863 10 694,17
239 784,81 876 924,92 219231,23 215586,58 24 198,23
279 222,15 840 085,48 210021,37 214626,3 64 595,85
148 909,00 - - - -
172 169,52 - - - -

 

Шаг 2. Вычислим оценки сезонной составляющей. Найдем среднемесячные оценки сезонной компоненты

Š1=(23 741,09-91778,13-75986,96+11624,94+24198,23)/5=-28640,17;

Š2=(9438,96+154585,07+137534,18-36455,52+64595,85)/5= 65939,71;

Š3=(-17290,08-98783,04--86646,40+92630,30-69643,97)/5=-35946,64;

Š4=(-7507,33+102118,35-46814,59-47567,93+10694,17)/5=2184,54.

Сумма значений сезонных компонент за все месяцы должна быть равна нулю, а у нас 10537,44, поэтому определяем поправочный коэффициент

k=10 537,44/4=2 634,36. Окончательно определяем сезонную компоненту

Si = Ši– k.

Таким образом, получаем

S1 =–19 005,81; S2 =68 574,07; S3 =–33 312,28; S4 =4 818,90.

Занесем полученные значения в таблицу для соответствующих месяцев.

Шаг 3. ВычисляемT+E= yt – St .

Шаг 4. По данным графы 4 строим линейный тренд Т= 4334t + 16572. Подставляя в это уравнение t=1,2,…24, находим Т.

 

Шаг 5. Находим теоретические значения T+S.

Шаг 6. Вычисляются ошибки модели и их квадраты:

 

t yt St Е+Т= yt –St T S+Т E=yt –(T+S) E2
150687,51 -19005,81 169693,32 10001258,19 -9850570,68 9,70337E+13
112672,31 68574,07 44098,24 10109102,07 -9996429,76 9,99286E+13
108478,31 -33312,28 141790,59 10027479,72 -9919001,41 9,83866E+13
126212,45 4818,9 121393,55 10085874,9 -9959662,45 9,91949E+13
160733,45 -19005,81 179739,26 10082314,19 -9921580,74 9,84378E+13
166237,47 68574,07 97663,4 10190158,07 -10023920,6 1,00479E+14
81093,86 -33312,28 114406,14 10108535,72 -10027441,86 1,0055E+14
312046,05 4818,9 307227,15 10166930,9 -9854884,85 9,71188E+13
159526,98 -19005,81 178532,79 10163370,19 -10003843,21 1,00077E+14
407850,32 68574,07 339276,25 10271214,07 -9863363,75 9,72859E+13
170500,31 -33312,28 203812,59 10189591,72 -10019091,41 1,00382E+14
238320,7 4818,9 233501,8 10247986,9 -10009666,2 1,00193E+14
-19005,81 283309,81 10244426,19 -9980122,19 9,96028E+13
68574,07 458407,93 10352270,07 -9825288,07 9,65363E+13
-33312,28 525926,28 10270647,72 -9778033,72 9,56099E+13
309461,88 4818,9 304642,98 10329042,9 -10019581,02 1,00392E+14
277449,85 -19005,81 296455,66 10325482,19 -10048032,34 1,00963E+14
68574,07 101630,93 10433326,07 -10263121,07 1,05332E+14
119751,8 -33312,28 153064,08 10351703,72 -10231951,92 1,04693E+14
209008,96 4818,9 204190,06 10410098,9 -10201089,94 1,04062E+14
239784,81 -19005,81 258790,62 10406538,19 -10166753,38 1,03363E+14
279222,15 68574,07 210648,08 10514382,07 -10235159,92 1,04758E+14
-33312,28 182221,28 10432759,72 -10283850,72 1,05758E+14
172169,52 4818,9 167350,62 10491154,9 -10318985,38 1,06481E+14

Следовательно, для нахождения стоимости продаж для каждого месяца необходимо к уравнению добавить сезонную компоненту соответствующего месяца.

Пример 2.

1. Выявить автокорреляцию временного ряда.

2. Построить модели временного ряда (аддитивную и мультипликативную).

3. Выбрать лучшую модель, на ее основе с учетом сезонности сделать прогноз стоимости на следующие 2 квартала.

Исходные данные предприятия

год квартал Стоимость, млн.руб.

 

 

1. Расчеты коэффициента автокорреляции

Таким образом,

,

2.1. Аддитивная модель временного ряда.

Определение оценок сезонной составляющей

t Yt Всего по 4 кварталам Скользящая средняя Скользящая средняя центрированная Сезонная составляющая
898,0 - - - -
794,0 1183,250 - -
1441,0 1200,50 1191,8750 249,1250
1600,0 1313,50 1257,0 343,0
967,0 1317,750 1315,6250 -348,6250
1246,0 1270,750 1294,250 -48,250
1458,0 1251,750 1261,250 196,750
1412,0 1205,50 1228,6250 183,3750
891,0 1162,750 1184,1250 -293,1250
1061,0 1218,50 1190,6250 -129,6250
1287,0 - - - -
1635,0 - - - -

 

Вычисление значений сезонной составляющей в аддитивной модели

показатель год 1 квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал
  - - 249,1250 343,0
  -348,6250 -48,250 196,750 183,3750
  -293,1250 -129,6250 - -
итого за квартал   -641,750 -177,8750 445,8750 526,3750
средняя оценка сезонной составляющей за квартал   -320,8750 -88,93750 222,93750 263,18750
скорректированная сезонная составляющая   -397,190 -88,940 222,940 263,190

Получили:

Определяем корректирующий коэффициент:

Проверяем условие, что сумма значений сезонной составляющей равна нулю:

–397,190-88,940+222,940+263,190=0

Вычисление значений тренда-T и ошибок-E в аддитивной модели

,

Оценка качества построенной модели и выбор наилучшей модели производятся с использованием значения ошибки ε:

Можно сказать, что построенная аддитивная модель объясняет примерно 76% вариации временного ряда.

2.2. Мультипликативная модель временного ряда

Определение оценок сезонной компоненты

t Yt Всего по 4 кварталам Скользящая средняя Скользящая средняя центрированная Сезонная составляющая
898,0 - - - -
794,0 1183,250 - -
1441,0 1200,50 1191,8750 1,210
1600,0 1313,50 1257,0 1,270
967,0 1317,750 1315,6250 0,740
1246,0 1270,750 1294,250 0,960
1458,0 1251,750 1261,250 1,160
1412,0 1205,50 1228,6250 1,150
891,0 1162,750 1184,1250 0,750
1061,0 1218,50 1190,6250 0,890
1287,0 - - - -
1635,0 - - - -

Вычисление значений сезонной составляющей в мультипликативной модели

показатель год 1 квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал
  - - 1,210 1,270
  0,740 0,960 1,160 1,150
  0,750 0,890 - -
итого за квартал   1,490 1,850 2,370 2,420
средняя оценка сезонной составляющей за квартал   0,7450 0,9250 1,1850 1,210
скорректированная сезонная составляющая   0,730 0,910 1,170 1,190

Получаем:

0,7450+0,9250+1,1850+1,210=4,070.

Определяем корректирующий коэффициент:

.

Проверяем равенство четырем суммы значений сезонной составляющей:

Вычисление выровненных значений и ошибок в мультипликативной модели

t Yt Si Е*Т=Y/S T S *Т E=Yt/(S*Т) E2 (Yt- S*Т)2
0,730 1230,1370 1183,4650 863,92950 1,0394370 1,080429 1160,80238
0,910 872,52750 1190,50 1083,3550 0,7329080 0,537155 83726,3160
1,170 1231,6240 1197,5350 1401,1160 1,0284660 1,057742 1590,73744
1,190 1344,5380 1204,570 1433,4380 1,1161970 1,245896 27742,7999
0,730 1324,6580 1211,6050 884,47170 1,0933080 1,195323 6810,92855
0,910 1369,2310 1218,640 1108,9620 1,1235730 1,262416 18779,3038
1,170 1246,1540 1225,6750 1434,040 1,0167080 1,033696 574,093580
1,190 1186,5550 1232,710 1466,9250 0,9625580 0,926517 3016,7446
0,730 1220,5480 1239,7450 905,01390 0,9845150 0,969270 196,387992
0,910 1165,9340 1246,780 1134,570 0,9351560 0,874517 5412,51547
1,170 1100,0 1253,8150 1466,9640 0,8773220 0,769695 32386,8793
1,190 1373,950 1260,850 1500,4120 1,0897010 1,187448 18114,0643
итого 12,0 14665,850 14665,890 14683,20 11,999850 12,14010 199511,573
Срзнач 1224,170              

Т=7,0350t+1176,430

Таким образом, в мультипликативной модели ошибка составляет:

Следовательно, в мультипликативной модели доля объясненной дисперсии составит 79%

3. Прогнозирование.

Из двух полученных моделей для прогнозирования следует выбрать модель с наименьшейошибкойε. Следовательно, будем использовать мультипликативную модель, у ней ε=0.21.

Прогноз объема товаров, выпущенных в первом полугодии следующего года, определяется как сумма объемов выпуска в I и во 2 кварталах, и , соответственно. Для определения трендовой составляющей используем уравнение тренда:

Т=7,0350t+1176,430.

Получаем:

7.0350*13+1176.430=1267.8850.

7.0350*14+1176.430=1274.920.

Значения сезонной составляющей:

(1 квартал);

(2 квартал).

Следовательно,

,

.

Контрольные вопросы

1. Ряд динамики и его характеристики.

2. Этапы анализа динамического ряда

3. Методы прогнозирования на основе анализа динамического ряда

4. Уравнения тренда, их виды и порядок решения

5. Порядок определения параметров линейного тренда.

6. Выбор вида уравнения тренда для прогнозирования.

7. Определение ошибки прогноза.

8. Интервал прогноза и порядок его определения

Тесты

1) Какие временные ряды называются интервальными?

а) уровни которых характеризуют изучаемое явление за определённые интервалы времени,

b) уровни которых отражают величину изучаемого явления на определённый момент времени,

c) уровни которых характеризуют изучаемое явление с помощью средних или относительных величин.

 

2) Какие временные ряды называются моментными?

а) у которых характеризуют изучаемое явление за определённые интервалы времени,

b) уровни которых отражают величину изучаемого явления на определённый момент времени,

c) уровни которых характеризуют изучаемое явление с помощью средних или относительных величин.









Читайте также:

  1. G) определение путей эффективного вложения капитала, оценка степени рационального его использования
  2. I этап. Определение стратегических целей компании и выбор структуры управления
  3. I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОБЛЕМЫ МЕТОДА
  4. III. Определение посевных площадей и валовых сборов продукции
  5. VII. Определение затрат и исчисление себестоимости продукции растениеводства
  6. X. Определение суммы обеспечения при проведении исследования проб или образцов товаров, подробной технической документации или проведения экспертизы
  7. Анализ основных технико - экономических показателей работы предприятия
  8. Анализ основных экономических показателей туристской фирмы «Bonjour Travel»
  9. Анализ основных экономических показателей финансово-хозяйственной деятельности магазина «Проспект»
  10. Анализ платежеспособности и финансовой устойчивости торговой организации, определение критериев неплатежеспособности
  11. Анализ показателей качества и определение полиграфического исполнения изделия
  12. Анализ современных технологий обучения школьников


Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 108;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная