Лекции.ИНФО


Описание связей между макроэкономическими переменными.



Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели рассчитываются по формулам

Э ŷх1(х2) = а1х1 / у; Э ŷх2(х1)= а2х2 / у. (14)

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если изменить один из факторных признаков на один процент не меняя значения остальных.

В рассматриваемом выше примере 3 Эŷх1(х2)=0,06815·6080,5/1313,9=0,315; Эŷх2(х1)=380.47·3,1/1313,9=0,898. Это означает, что при увеличении душевого дохода на один процент и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0,315 процента, а увеличение на один процент (условно) размера семьи при неизменном душевом доходе приведет к росту расходов на питание на 0,898 процента.

Пример 4. Как размер платы за квартиру зависит от площади квартиры и от количества человек, прописанных в данной квартире.

Данные приведены в табл. 4.

Таблица 4

N Квартплата, руб. Площадь квартиры, м2 Количество человек
y x1 x2
244,19 46,0
450,50 80,2
199,86 43,8
192,00 48,9
98,50 12,0
356,59 59,8
381,54 51,9
118,48 18,0
324,40 53,8
182,50 16,0
  =254,86 1=43,04 2=2,5

Построим линейную аддитивную модель в виде ŷ=а0+а1x1+а2x2. Необходимые данные для расчета модели сведем в табл. 5.

Таблица 5

N yx1 yx2 x12 x22 x1x2
11232,74 732,57
36130,1 1351,5 6432,04 240,6
8753,87 199,86 1918,44 43,8
9388,8 2391,21 97,8
98,5 12,0
21324,08 1069,77 3576,04 179,4
19801,93 1526,16 2693,01 207,6
2132,64 236,96
17452,72 973,2 2894,44 161,4
547,5 48,0
1=13031,9 2=712 =2274,58 =7,1 х1х 2=116,46

 

Для решения линейной двухфакторной модели строим следующую систему уравнений:

а0+ 1a1+ 2a2 =

1а0+ a1+ х1х 2a2 = 1

2а0+ х1х 2a1+ a2 = 2.

Нам нужно решить систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными и найти значения коэффициентов модели а0, а1 и а2.

Подставляя в данную систему найденные числовые данные, получим систему

а0+43,04 a1+2,5 a2 = 254,86

43,04 а0+2274,58 a1+116,46 a2 = 13031,89

2,5 а0+116,46 a1+7,1 a2 = 712.

Для того чтобы решить данную систему уравнений методом Крамера, найдем сначала значение определителя основной матрицы. Этот определитель определяется равенством

∆ = 43,04 2,5 43,04 2274,58 116,46 2,5 116,46 7,1 = 1 2274,58 116,46 116,46 7,1 - 43,04 43,04 2,5 116,46 7,1

 

+ 2,5 43,04 2,5 2274,58 116,46 =1×(16149,518-13562,93)-43,04×(305,58-291,1)+2,5×

×(5012,44–5686,45)=2586,586 – 621,07 – 1685,025=280,49.

Получили, что ∆=280,49≠0, значит, система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

 

а0а1а2

а0 = , а1 = , а2 = .

∆ ∆ ∆

а0 = 254,86 13031,89 43,04 2274,58 116,46 2,5 116,46 7,1 = 254,86 2274,58 116,46 116,46 7,1 – 43,04×

 

13031,89 116,46 7,1 + 2,5 13031,89 2274,58 116,46 = 254,86×(16149,52-13562,93)-

- 43,04×(92526,42–82919,52) + 2,5×(1517693,9–1619500,96) = 659218,33 –

– 413480,98–254515,25= –8777,9.

а1= 43,04 2,5 254,86 13031,89 2,5 116,46 7,1 =1 13031,89 116,46 7,1 – 254,86 43,04 2,5 116,46 7,1

 

+ 2,5 43,04 2,5 13031,89 =1×(92526,42–82919,52)–254,86×(305,58–291,15)+2,5×

 

×(30644,48–32579,72)=9606,9–3677,63–4838,1=1091,2.

а2= 43,04 2,5 43,04 2274,58 116,46 254,86 13031,89 = 1 2274,58 116,46 13031,89 – 43,04×

 

43,04 2,5 13031,89 + 254,86 43,04 2,5 2274,58 116,46 = 1×(1619500,96–1517693,91) –

– 43,04 ×(30644,48 – 32579,73) + 254,86 × (5012,44 –5686,45) =

=101807,05+83293,16–171778,19=13322,02.

Теперь мы можем найти значения коэффициентов модели а0, а1 и а2.

а0 = –8777,9/280,49= –31,3;

а1 = 1091,2/280,49= 3,89;

а2 = 13322,02/280,49= 47,5,

следовательно, линейная аддитивная модель имеет следующий вид:

ŷ= –31,3+3,89 x1+47,5 x2.

Коэффициент регрессии модели а1 =3,89 показывает, что каждый метр площади квартиры повышает квартплату на 3,89 руб., а коэффициент а2=47,5 показывает, что каждый прописанный человек повышает квартплату на 47,5 руб.

Найдем теоретические значения ŷ и их отклонения от априорных (данные приведены в табл.6).

Таблица 6.

номер y (y - )2 ŷ ε=ŷ - у ε2
244,19 113,85 290,14 45,9 2106,8
450,50 38275,01 423,1 –27,4 750,8
199,86 186,52 –13,3 176,9
192,00 3951,38 253,88 61,9 3831,6
98,50 24448,45 62,88 –35,6 1267,4
356,59 10348,99 343,79 –12,8 163,8
381,54 16047,82 360,61 –20,9 436,8
118,48 18599,50 133,74 15,3 234,1
324,40 4835,81 320,47 –3,9 15,2
182,50 5235,97 173,5 –9
∑/n =254,86 12488,18     906,4

Совокупный коэффициент детерминации

R2 = 1 – 906,4/12488,18= 0,927.

Значение данного коэффициента близко к 1, что очень хорошо.

3.5. Формирование регрессионных моделей на компьютере с помощьюППП Excel

Однофакторная регрессия.

Статистическая функцияЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии у=ах+b. Порядок вычисления следующий:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) выделите область пустых ячеек 5´2 (5 строк, 2 столбца) длявывода результатов регрессионной статистики или область 1´2 – для получения только оценок коэффициентов регрессии;

3) активизируйте Мастер функций любым из способов:

а) в главном меню выберитеВставка/Функция;

б) на панели инструментовСтандартная щелкните по кнопке Вставка функции;

4) в окне Категория выберитеСтатистические, в окне Функция –ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопкеОК;

5) заполните аргументы функции:

Известные_значения_у – диапазон, содержащий данные резуль­тативного признака;

Известные_значения_х – диапазон, содержащий данные факто­ров независимого признака;

Константа - логическое значение, которое указывает на нали­чие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Кон­станта = 1, то свободный член рассчитывается обычным обра­зом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выво­дить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щелкните по кнопкеОК;

6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

Регрессионная статистика представляется в выделенной области в следующем порядке:

Значение коэффициента a Значение коэффициента b
Среднеквадратическое отклонение a Среднеквадратическое отклонение b
Коэффициент детерминации R2 Среднеквадратическое отклонение y
F-статистика Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов Остаточная сумма квадратов

Многофакторная регрессия.

Построение линейной многофакторной модели производится с помощью инструментов пакета анализа данных Корреляцияи Регрессия. Корреляция используется для расчета матрицы парных коэффициентов корреляции. С помощью Регрессии, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис/Надстройки. Установите флажок Пакет анализа;

2) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

3) в главном меню выберите пункты Сервис/Анализ данных/Корреляция;

4) заполните диалоговое окно входных данных и параметров вывода:

Входной интервал – диапазон, содержащий анализируемые данные (все столбцы или строки);

Группирование – по столбцам или по строкам;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку диапазона;

5) результаты вычислений – матрица парных коэффициентов корреляции, анализ которых позволяет выполнить первый этап процесса моделирования, описанный в 2.4;

6) в главном меню выберите пункты Сервис/Анализ данных/Регрессия;

7) заполните диалоговое окно входных данных и параметров вывода как в пункте 4, только интервал для результативного признака Y и для факторов Х надо задавать отдельно (причем входной интервал Х должен включать все столбцы, содержащие значения факторных признаков);

8) в результате получаем регрессионную статистику, таблицу дисперсионного анализа и таблицу коэффициентов модели, в которой первая строка (Y-пересечение) соответствует коэффициенту а0, а следующие строки описывают коэффициенты регрессии аi.









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 65;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная