Лекции.ИНФО


Некоторые законы распределений случайных величин



 

В теории вероятностей и математической статистике используется большое количество специальных законов распределений СВ. Мы ограничимся рассмотрением лишь тех, которые наиболее часто применяются в эконометрическом анализе. Эти распределения используются для нахождения интервальных оценок, при проверке статистических гипотез, в дисперсионном и регрессионном анализе. Для удобства практического использования распределений СВ разработаны таблицы α-квантилей (критических точек), которые позволяют быстро и эффективно оценивать соответствующие вероятности (см. Приложение).

Критической точкой уровня α (α-квантилем) называется такое значение хα СВ Х, при котором выполняется условие:

(правосторонний критерий). (1.11)

С геометрической точки зрения нахождение квантиля хα заключается в выборе такого значения х, при котором площадь заштрихованной области на рис. 1.4 была бы равна α.

 

 

Рис. 1.4.

 

Для симметричных относительно оси ординат распределений можно ввести понятие двустороннего α-квантиля – Р(|х| > xα). Нахождение α-квантиля (критической точки) определяется величиной (уровнем значимости) самого α и числом степеней свободы рассматриваемых распределений.

 

Нормальное распределение

 

Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности. Поэтому он используется в очень большом числе практических приложений.

Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

. (1.12)

Нормальное распределение (рис. 1.5) полностью определяется двумя параметрами - математическим ожиданием m = M(X) и средним квадратическим отклонением - σ = σ(Х) - и символически обозначается Х ~ N(m, σ2) или X ~ N(m, σ). При изменении числовой характеристики m нормальная кривая перемещается вдоль оси Ох, при изменении σ меняется форма кривой. Нормальный закон распределения с числовыми характеристиками (параметрами) m = 0 и σ2 = 1 называется стандартным распределением.

 

 

 

 

Рис. 1.5.

 

Для практических расчетов вероятностей СВ, подчиняющихся нормальному распределению, удобно пользоваться таблицами значений функции Лапласа (Приложение 1). Функция (интеграл вероятностей) Лапласа Ф(u) имеет вид:

(1.13)

где F(u) - функция стандартного нормального распределения СВ U, . Тогда вероятность попадания СВ Х, распределенной по нормальному закону, в интервал [х1, х2].

Р(х1 £ Х £ х2) = Ф(u2) – Ф(u1), (1.14)

где .

Кроме того, справедливы следующие соотношения: Р(|Х - m| < σ) = 0,68; P(|Х - m| < 2σ) = 0,95; P(|Х - m| < 3σ) = 0,9973, где |Х - m| - отклонение СВ Х от математического ожидания. Другими словами, значения нормально распределенной СВ Х на 95 % сосредоточены в области (m - 2σ, m + 2σ) и на 99,73 % сосредоточены в области (m - 3σ, m + 3σ).

Следует также отметить, что линейная комбинация произвольного количества нормальных СВ имеет нормальное распределение.

В том случае, когда логарифм СВ подчинен нормальному закону, говорят, что она имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение.

1.3.2. Распределение χ2 (хи-квадрат)

 

При моделировании экономических процессов достаточно часто приходится рассматривать СВ, которые представляют собой алгебраическую комбинацию нескольких СВ. Возможность прогнозирования поведения таких СВ осуществляется при использовании ряда специально разработанных законов распределений. К ним относятся χ2-распределение, распределения Стьюдента и Фишера.

Пусть имеется n независимых СВ Хi, i = 1, 2 … n, распределенных по нормальному закону, с математическими ожиданиями mi и средними квадратическими отклонениями σi, соответственно. Тогда СВ Ui = (Xi - mi)/σi имеют стандартное нормальное распределение, Ui ~ N(0,1).

Распределением χ2 с ν = n степенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых СВ Ui

(1.15)

Число степеней свободы ν исследуемой СВ определяется числом СВ ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Например, число степеней свободы СВ, являющейся композицией n случайных величин, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями, определяется как ν = n - m.

Распределение χ2 определяется одним параметром - ν: М2) = ν = n - m, D2) = 2ν = 2(n - m). График плотности вероятности СВ, имеющей χ2-рас­пределение, расположен только в первой четверти декартовой системы координат и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом». С увеличением числа степеней свободы распределение χ2 постепенно приближается к нормальному распределению. Таблицы критических точек χ2-рас­пределения приведены в Приложении 2.

 

Распределение Стьюдента

 

Рассмотрим стандартную нормальную СВ U ~ N(0,1) и независимую от нее СВ V, распределенную по закону χ2 с ν = n степенями свободы (обозначается V ~ ). Тогда распределение случайной величины

(1.16)

называется распределением Стьюдента (псевдоним английского химика и статистика Госсета) или t-распределением с n-степенями свободы (tn).

При n > 2 M(t) = 0 и D(t) = n/n - 2. График функции плотности вероятности СВ, имеющей распределение Стьюдента, является симметричной кривой относительно оси ординат (рис. 1.6).

 
 


 

Рис. 1.6.

 

С увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента приближается к стандартному нормальному закону и практически при n > 30 можно считать t-распределение приближенно нормальным. Таблица критических точек распределения Стьюдента для различных значений уровня значимости α и числа степеней свободы ν (tα) представлена в Приложении 3.

 

Распределение Фишера

 

Пусть V и W - независимые СВ, имеющие χ2-распределение со степенями свободы ν1 = m и ν2 = n, соответственно. Тогда составленное с использованием данных СВ отношение

(1.17)

является случайной величиной, подчиняющейся закону распределения, впервые полученному английским статистиком Р. Фишером в 1924 году. Распределение Фишера (F-распределение) определяется двумя параметрами – числами степеней свободы m и n (F ~ Fm,n). Числовые характеристики определяются при n > 4 следующим образом:

, .

При достаточно больших m и n это распределение приближается к нормальному. Нетрудно заметить, что , где tn - CВ, имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы ν = n, а – СВ, имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы ν1 = 1 и ν2 = n. Таблицы критических точек F-распределения (Fa,m,n) представлены в Приложении 4.

 









Читайте также:

  1. E) Объем инвестиций зависит от величины национального дохода
  2. F) величина сбережения по отношению ко всему доходу
  3. I. Рабочее тело и параметры его состояния. Основные законы идеального газа.
  4. IV Обсуждение результатов и некоторые выводы
  5. Алфлвит и некоторые основные оперлторы языка PascaI
  6. Базовая последовательность случайных чисел (назначение, способы
  7. БИЛЕТ 36. Состав атомного ядра. Характеристики ядра: заряд, масса. Энергия связи нуклонов. Радиоактивность. Виды и законы радиоактивного излучения.
  8. Биологическое воздействие радиации на человека. Основные величины и контролируемые параметры облучения населения. Приборы дозиметрического контроля.
  9. Большинство законов содержат правовые нормы (законы материальные), иногда норм в законе нет, а только что-то констатируется (законы формальные).
  10. В уравнении жесткого приведенного механического звена величина
  11. В Уставе изложены обязанности начальствующих лиц русского войска, исходя из его организации. Рекомендуются также некоторые административные улучшения.
  12. В. Законы сохранения при прямолинейном движении.


Последнее изменение этой страницы: 2016-06-05; Просмотров: 50;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная