В кристаллах и симметричных многогранниках могут встречаться несколько элементов симметрии. Некоторые элементы симметрии могут сочетаться друг с другом. Последовательные преобразования относительно двух сочетающихся элементов симметрии может быть заменено третьим эквивалентным преобразованием. Не все элементы симметрии сочетаются. Возможные сочетания строго регламентируются теоремами о сочетании элементов симметрии.
Теорема 1.Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии Ln , причем угол поворота вокруг этой оси вдвое больше угла поворота между плоскостями.
Рис. 4.1. К теоремам 1 и 1а
Доказательство этой теоремы вытекает из подобия треугольников DАКО и DА¢КО (см. рис. 4.1), а также DА¢ОР и DА¢¢ОР. Если угол разориентировки двух плоскостей симметрии (К и Р) равен a, то два последовательных отражения в этих плоскостях можно заменить поворотом относительно линии пересечения этих плоскостей; причем угол поворота составит 2a.
Теорема 1а.Поворот относительно оси симметрии на угол a эквивалентен двум последовательным отражениям в плоскостях симметрии, которые проходят вдоль данной оси; причем угол разориентировки плоскостей равен a/2.
Теорема 2.Точка пересечения четной оси симметрии с плоскостью симметрии есть центр инверсии.
Доказательство приведено на рисунке 4.2.
Рис. 4.2. К теоремам 2, 2а, 2б
Теорема 2а.Если есть ось симметрии четного порядка и на ней центр симметрии, то перпендикулярно этой оси проходит плоскость симметрии.
Теорема 2б.Если есть плоскость симметрии и на ней центр инверсии, то через этот центр перпендикулярно плоскости проходит ось симметрии четного порядка.
Теорема 3.Если есть ось симметрии n-го порядка (Ln) и ей перпендикулярна ось 2-го порядка, то всего оси Ln перпендикулярно n осей 2-го порядка.
Доказательство приведено на рисунке 4.3.
Рис. 4.3. К теореме 3
Теорема 4.Если есть ось симметрии n-го порядка (Ln) и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то имеется n таких плоскостей.
Доказательство приведено на рисунке 4.4.
Рис. 4.4. К теореме 4.
Теорема 5 (теорема Эйлера).
Взаимодействие двух осей n-го порядка, поворотных или инверсионных, приводит к возникновению проходящей через точку их пересечения третьей оси симметрии с элементарным углом поворота, вдвое превышающим угол между исходными осями. При этом результирующая ось окажется поворотной, если исходными являются две одинаковые оси (обе поворотные или обе инверсионные), и инверсионной, если порождающие оси разные.
Доказательство приведено на рисунке 4. 5.
Рис. 4.5. К теореме 5.
Пусть через направления A и B проходят оси симметрии с углами поворота α и β соответственно. Рассмотрим последовательное действие этих элементов симметрии на объект Х. Поворот объекта Х в оси симметрии А на угол α приведет к формированию объекта Х’, при этом ориентация системы координат объекта должна сохраниться. Поворот объекта Х’ в оси симметрии B на угол β приведет к формированию объекта Х’’. Ориентация системы координат объекта Х’’ соответствует ориентации систем координат объектов Х’ и Х, поскольку повороты – преобразования первого рода. Таким образом, объекты Х’ и Х’’ эквивалентны, их системы координат одинаково ориентированы, поэтому должен быть поворот, производящий объект Х непосредственно в объект Х’’.
Для того, чтобы определить положение оси поворота, проведем l. плоскость через оси A и B; 2. две плоскости через ось A, отстоящие от плоскости AB на угол α/2; 3. две плоскости через ось B, отстоящие от плоскости AB на угол β/2.
Результат построения показан на рисунке 4.5. Точки пересечения дополнительных плоскостей, проходящих через точки A и B обозначены C и C’. Очевидно, по построению треугольник ABC точно равен треугольнику ABC’.
Рассмотрим последовательный поворот точки C в осях A и B. При повороте в оси A на угол α против часовой стрелки направление C переходит в направление C’. При повороте B в оси на угол β против часовой стрелки направление C’ переходит в направление C. Таким образом, направление C остается неизменным при выполнении последовательных операций поворота в осях A и B. Это означает, что ось симметрии, эквивалентная поворотам в осях A и B проходит через направление C.
Из теоремы Эйлера можно определить все возможные комбинации взаимодействующих осей. Действительно, так как сумма углов сферического треугольника > 180°, то
(4.8) |
Поэтому могут сосуществовать только следующие типы осей: 2,2,2; 3,2,2; 4,2,2; 6,2,2; 3,3,2; 2,3,3; 2,3,4.
Рис. 4.6. Сочетания осей симметрии разного порядка.
Теорема 6.Плоскость, проходящая вдоль четной инверсионной оси, приводит к появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.
Доказательство приведено на рисунке 4.7.
Рис. 4.7. К теореме 6.
В кристаллах встречаются четные инверсионные оси и . Их необходимо рассматривать как соответствующие оси 2-го и 3-го порядков. Вдоль них проходят две или три плоскостей симметрии (согласно теореме 4).