Классическая механика и электродинамика при попытке применить их объяснению атомных явлений, как об этом говорилось ранее, приводили к результатам, находящихся в резком противоречии с экспериментом. Наиболее яркий тому пример - попытка применения классической электродинамики к модели атома, в которой электроны движутся вокруг ядра по классическим орбитам. При таком движении, как и при всяком движении зарядов с ускорением, электроны должны были бы непрерывно излучать энергию в виде электромагнитных волн и в конце концов - неизбежно упасть на положительно заряженное ядро. Таким образом - с точки зрения классической электродинамики - атом неустойчив. Как мы видим - этот тезис не соответствует действитель-ности. Такое глубокое противоречие теории с экспериментом свиде-тельствует о том, что описание микрообъектов требует фундамен-тального изменения в основных классических представлениях и законах.
Естественно, что столь радикальное изменение физических представлений о движении требует и столь же радикального изменения математического аппарата.
Законы квантовой механики могут быть рассмотрены с помощью операторов – математического аппарата квантовой механики.
Оператором Â принято называть правило или закон, согласно которому каждой функции f из некоторого класса функций соответствует функция j:
Âf=j
Простейшие примеры операторов: извлечение квадратного корня, дифференцирование и т.д.
Например
Не на каждую функцию можно подействовать любым операто-ром, например на недифференцируемую функцию нельзя подействовать оператором дифференцирования. Поэтому любой оператор бывает определен лишь на некотором классе функций и считается заданным, если указано не только правило, по которому он одну функцию преобразует в другую, но и множество функций, на которые он действует. По аналогии с алгеброй чисел можно ввести и алгебру операторов:
1.Сумма или разность операторов (Â ± Ĉ)·f = · Â f ± Ĉ f
2.Произведение операторов ÂĈf = Â(Ĉf)
т.е. сначала на функцию f действует оператор Ĉ, образуя некоторую новую функцию, на которую затем действует оператор Â . В общем случае действие оператора ÂĈ не совпадает с действием оператора Ĉ Â.
Действительно, если Â =d/dx и Ĉ=x, то
ÂĈf = d/dx(xf) = f + x df / dx, ĈÂf = x f/ dx ¹ f + x df / dx
3. Если ÂĈ = ĈÂ, то операторы называютсякоммутирующими.
AB - BА º{A,B}.Выражение в скобках называется коммутатором.
4. В квантовой механике обычно используются линейные самосопряженные (или эрмитовы) операторы. Свойство линейности означает, что
 (c1f1 + c2f2)f= c1  f1 + c2  f2, .....
где c1 и c2 - константы, а f1 и f2 - произвольные функции, на которых определен оператор Â
Самосопряженным эрмитовым оператором называется оператор, для которого выполняется равенство:
òf1*(x)( Â f2(x)) dx = òf2(x)( Â*f1*(x)) dx,
при этом предполагается, что Â определен на f1*(x) и f2(x) и все интегралы, входящие в это выражение, существуют.
Â* получается из Â изменением знака перед мнимой частью.
Требование эрмитовости очень важно для квантовой механики.
В квантовой механике используются векторные операторы:
1. (набла)
|
= i д/ дх +j д/ ду + k д/ дz
|
f = i дf/ дх +j дf/ ду + k дf/ дz
D (дельта или лапласиан)
|
D = i д2/ дх2 +j д2/ ду2 + k д2/ дz2
|
Df = i д2f/ дх2 +j д2f/ ду2 + k д2f/ дz2
Операторные уравнения
Как уже говорилось, действие оператора сводится к преобразованию одной функции в другую, однако возможны и такие случаи, когда в результате действия оператора исходная функция не изменяется, либо умножается на константу. Простейший пример:
(d/dx)exp(ax) = aexp(ax)
Можно утверждать, что каждому оператору можно сопоставить линейное уравнение (операторное уравнение) вида:
Âf = af ,
где a = const. a - собственное значение оператора, а f - собственная функция оператора. Это уравнение называется уравнением на собственное значение. Значения постоянных, при которых это уравнение принима-ет ненулевые решения, называют собственными значениями. Все вместе они образуют спектр (набор) собственных значений, который может быть дискретным, непрерывным или смешанным. Каждому значению соответствует одна или несколько собственных функций fm , причем если одному собственному значению соответствует только одна функция, то оно является невырожденным, а если несколько - то вырожденным.
Например Âf1 = a1f1.
Собственные функции и собственные значения эрмитовых (самосопряженных) операторов обладают рядом свойств, описанных в теоремах квантовой механики.
Теоремы квантовой механики
Теорема 1. Собственные значения самосопряженных операторов вещественны.
Теорема 2. Собственные функции fn(x) и fm(x) самосопряженного оператора Â, принадлежащих различным собственным значениям An¹Am, ортогональны между собой, т.е.:
òfm*(x)fn(x)dx = 0
Собственные функции должны быть нормированы на единицу введением специального нормировочного множителя:
ò½jn(x)½2dx =1
Происходит замена jn(x)= fn(x)/N, т.е. нормировка, где 1/N - номировочный множитель.
òjm*(x)jn(x)dx = dmn – символ Кронекера.
dmn = 1, если m=n – свойство нормированности,
dmn = 0, если m¹n – свойство ортогональности.
Физический смысл нормированности состоит в вероятности обнаружить частицу в объеме пространства, и она равна 1.
Ортогональность означает, что система может находиться в состоянии либо Em либо En, т.е. частицы не могут находиться на том и другом уровне, а такие орбитали не перекрываюся.
Теорема 3.Если несколько собственных функций принадлежат одинаковым собственным значениям, то любая линейная комбинация этих функций является решением операторного уравнения с тем же собственным значением.
ÂF(x)= AF(x)
ÂF(x)= Â(С1f1+С2f2)=С1Â f1+ С2Âf2= С1A1f1+ С2A2f2=A(С1f1+С2f2)=AF(x)
Теорема 4. (свойствополноты системы собственных функций).
Собственные функции эрмитова оператора образуют полный ортонормированный набор, т.е. любую функцию, определенную в этой жеобласти переменных можно представить в виде ряда по собственным функциям оператора Â:
F(x)= SСnfn(x) .....(где Сn - некоторые константы), и это разложение будет точным.
Теорема 5.Если два оператора Â и Ĉ и имеют общую систему собственных функций, то они коммутируют.
ÂĈ – ĈÂ = 0
Теорема 6 (обратная).Если Â и Ĉ коммутируют, то они имеют общие собственные функции.