Лекции.ИНФО


Проверка гипотезы о некоррелированности остатков



Известно (см. §1.4 практиче­ской работы №1), что МНК-оценки параметров линейной регрессии в условиях классической нормальной линейной регрессионной модели являются эффективными в классе всех линейных оценок, состоятельными, не­смещенными и обладают другими хорошими свойствами. Однако для временных рядов требование независимости возму­щений не всегда выполняется. Поэтому после оценки тренда следует прове­рить гипотезу H0 об отсутствии автокорреляции остатков: если H0 отвергается, то качество тренда сомнительно.

В данном пособии рассматривается одно из самых популярных правил проверки гипотезы H0тест Дарбина-Уотсона. В соответствии с этим тестом вычисляется статистика:

. (42)

Можно доказать, что d=2(1-r), где r – выборочный коэффициент авто­корреляции ряда (см. Приложение). Так как -1≤ r ≤1, то 0≤ d ≤4. Значение d=0 (r=1) соответствует случаю сильной положительной автокорреляции остатков, значение d=2 (r=0) – отсутствию автокорреляции, d=4 (r=-1) – сильной отрица­тельной автокорреляции.

В статистических таблицах (см., например, [5, 8]) для различных значений числа наблюдений n и уровня значимости a приводятся пороговые значения статистики d: нижнее dн и верхнее dв, такие, что (см. рис. 5):

· При 0≤ d dн гипотеза H0 отвергается (случай положительной автокорреляции).

· При 4-dн d≤4 H0 отвергается (случай отрицательной автокорреляции).

· При dвd≤ 4-dв гипотеза H0 принимается.

·
При остальных значениях d суждение о справедливости H0 не выносится (d попадает в одну из двух зон неопределенности).

Метод скользящего среднего

Метод скользящего среднего (МСС) состоит в замене каждых k последовательных уровней ряда их средним значением. Величина k называется окном усреднения (сглаживания).

Если k нечетно (k=2l+1, где l-целое положительное число), то скользящее среднее ut задается формулой:

.

Таким образом, среднее, вычисленное по k уровням ряда, приписывается к срединному моменту времени окна сглаживания. В приведенной выше формуле t=l+1, …, n-l. Следовательно, скользящее среднее не определено для l начальных и l конечных моментов времени.

Переход от наблюдений Y к скользящему среднему позволяет «сгладить» ряд и получить значения, более близкие к тренду. Действительно, если разброс значений yt около тренда характеризуется дисперсией s2, то разброс среднего по k уровням ряда будет характеризоваться существенно меньшей дисперсией (s2/k – при независимости случайных величин Y(t)). Если ряд содержит цикли­ческую составляющую, то следует брать k равным ее периоду, чтобы отрица­тельные и положительные отклонения от тренда гасили друг друга.

Рассмотрим случай четного k (k=2l). Предположим, что вычислили сред­нее значение для 2l моментов времени, начиная с t0: t0, t0+1, …, t0+l-1, t0+l, …, t0+2l-1.Середина такого интервала находится между t0+l-1 и t0+l; поэтому непо­нятно, к какому моменту привязать значение скользящего среднего. Вы­ход со­стоит в следующем: приписываем среднее любому из этих моментов, напри­мер, меньшему – t0+l-1, а затем полученный ряд еще раз сглаживаем с окном k1=2, так чтобы скользящее среднее было правильно привязано к центру окна. Эта процедура поясняется также на примере (см. §2.3.4).

Сравним два метода оценивания тренда: аналитический (см. §1.3) и МСС. Первое преимущество МСС состоит в том, что он не требует никаких предположений о характере зависимости T(t); вторым его достоинством явля­ется простота вычислений. Очевидный недостаток МСС состоит в отсутствии оценок тренда для первых и последних наблюдений. Кроме того, МСС дает только оценки тренда для моментов наблюдений, и не дает формулу зависимо­сти T(t).

Если ряд имеет циклическую компоненту, то ее значения можно вычис­лить после определения тренда. Пренебрегая случайными возмущениями, для аддитивной модели ряда из формулы (40) получаем:

S»Y-T, (43)

для мультипликативной модели из формулы (41) получаем:

S»Y/T. (44)

Полученные приближенные значения циклической составляющей далее обрабатываются следующим образом:









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 34;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная