Лекции.ИНФО


Сглаживание ряда методом скользящего среднего



2.3.1. Задание*

В первых двух столбцах таблицы 17 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период. Провести сглаживание данных методом скользящего среднего с окном сглаживания k=3.

2.3.2. Выполнение задания

Скользящее среднее вычисляется с помощью функции СРЗНАЧ. Результаты расчета представлены в третьем столбце таблицы 16 и иллюстрируются рисунком 8.

Таблица 17. Спроса на товар

Годы Спрос на товар, усл. ед. Сглаженный ряд
t y u
 
225,00
257,00
305,67
329,33
343,33
358,00
 

2.4. Выделение трендовой и циклической компонент временного ряда**

Задание 1

В таблице 18 представлены данные об объеме y потребления энергии за четыре года (время t измеряется в кварталах). Сгладить временной ряд методом скользящего среднего, самостоятельно подобрав размер k окна сглаживания.

2.4.2. Выполнение задания 1

Из графика зависимости y(t) (см. рис. 9) видно, что временной ряд содержит циклическую компоненту с периодом Tп=4. Рассчитав с помощью функции КОРРЕЛ выборочный коэффициент автокорреляции r(1,t) (см. таблицу 19) и построив коррелограмму (с помощью мастера диаграмм – см. рис.10), получаем, что максимум коэффициента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает (см. §1.2), что Tп=4. Окно сглаживания следует выбрать равным (см. §1.5) периоду циклической составляющей: k=Tп=4. Тогда результатом сглаживания будет являться приближенный тренд (за период положительные и отрицательные значения циклической составляющей будут компенсировать друг друга).

В третьем столбце таблицы 18 приведены результаты расчета скользящего среднего u1(t) для k=4. Средняя точка tср окна сглаживания находится между вторым и третьим моментом времени окна. Так, например, для первого окна (содержащего моменты времени t=1, 2, 3, 4) tср=2,5; такого момента времени в наших данных нет, и мы приписываем среднее значение наблюдений по окну моменту t=2. Для второго окна tср=3,5, и среднее значение наблюдений по второму окну будет приписано моменту t=3. Аналогично, среднее значение наблюдений для каждого следующего скользящего окна мы будем приписывать второму моменту времени этого окна.

Для установки соответствия между средним значением наблюдений по окну и серединой окна tср необходимо применить к u1(t) метод скользящего среднего с окном сглаживания, равным двум: u2(t)=[u1(t-1)+u1(t)]/2. Результаты расчета приведены в таблице 18 (четвертый столбец). Напомним (см. также §1.5), что расчет u2 нужен только в случае четного k. Для нечетного k средняя точка окна сглаживания tср совпадает с одним из имеющихся в таблице моментов времени.


Таблица 18. Расчет тренда и циклической составляющей

t y u1 u2 S1=y-u2 S2 S3 S T+E=Y-S T E
          0,581 5,419 5,902 -0,483
4,4 6,100         -1,977 6,377 6,088 0,289
6,400 6,250 -1,250 -1,275 -1,294 -1,294 6,294 6,275 0,019
6,500 6,450 2,550 2,708 2,690 2,690 6,310 6,461 -0,151
7,2 6,750 6,625 0,575 0,600 0,581 0,581 6,619 6,648 -0,029
4,8 7,000 6,875 -2,075 -1,958 -1,977 -1,977 6,777 6,834 -0,057
7,200 7,100 -1,100     -1,294 7,294 7,020 0,273
7,400 7,300 2,700     2,690 7,310 7,207 0,104
7,500 7,450 0,550     0,581 7,419 7,393 0,026
5,6 7,750 7,625 -2,025     -1,977 7,577 7,580 -0,003
6,4 8,000 7,875 -1,475     -1,294 7,694 7,766 -0,072
8,250 8,125 2,875     2,690 8,310 7,952 0,358
8,400 8,325 0,675     0,581 8,419 8,139 0,280
6,6 8,350 8,375 -1,775     -1,977 8,577 8,325 0,252
    Сумма 0,075 0,000 -1,294 8,294 8,512 -0,218
10,8     Среднее 0,019 0,000 2,690 8,110 8,698 -0,588

 
 

Таблица 19. Коэффициент автокорреляции.

τ r(τ)
0,17
0,57
0,11
0,98
0,12
0,72
0,97

Задание 2

Вычислить значения циклической компоненты временного ряда по данным таблицы 18. Результаты записать в эту же таблицу.

2.4.4. Выполнение задания 2

Рассматриваемый временной ряд описывается аддитивной моделью, так как амплитуда колебаний уровней ряда практически не зависит от времени (см. рис. 9). По формуле (43) (учитывая, что T»u2) рассчитываем S1 – первое приближение циклической компоненты ряда.

Значения S2 получены усреднением S1 по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для аддитивной модели ряда должно равняться нулю, то выравниваем значения S2: S3= S2-S2 ср, где через S2 ср обозначено среднее значение S2. Значения циклической компоненты S получены копированием S3 по всем периодам.

Получив циклическую компоненту, вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: T+E=Y-S (см. формулу (40)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим следующую формулу: T(t)=0,186t+5,72. По этой формуле вычислим значения тренда, а затем, учитывая, что E=Y-T-S, – значения случайной компоненты E.

На рис. 9 компоненты ряда показаны графически. Так как случайная компонента существенно меньше остальных компонент ряда, можно считать, что полученные оценки тренда и циклической составляющей вполне приемлемы.

Задание 3

В первых двух столбцах таблицы 20 приведены поквартальные данные о прибыли компании (в усл. ед.) за последние четыре года. Определить трендовую, циклическую и случайную компоненты временного ряда.

2.4.6. Выполнение задания 3

Из графика зависимости y(t) (см. рис. 11,а) видно, что временной ряд со­держит циклическую компоненту с периодом Tп=4. Построив коррелограмму (которая здесь не приводится), можно удостовериться, что максимум коэффи­циента автокорреляции имеет место при значениях t, кратных четырем; это подтверждает, что Tп=4. Окно сглаживания выбираем равным (см. §1.5) пе­риоду циклической составляющей: k=Tп=4.

В третьем и четвертом столбце таблицы 20 приведены результаты рас­чета приближений тренда u1(t) и u2(t), полученные так же, как в таблице 18.

Для рассматриваемого временного ряда следует выбрать мультиплика­тивную модель, так как амплитуда колебаний уровней ряда изменяется про­порционально тренду (см. рис. 11,а). По формуле (44) (учитывая, что T»u2) рас­считываем S1 – первое приближение циклической компоненты ряда.

Значения S2 получены усреднением S1 по периодам. Так как среднее зна­чение циклической компоненты за период для мультипликативной модели должно равняться единице, то от S2 переходим к следующему приближению циклической компоненты: S3= S2/S2 ср, где S2 ср – среднее значение S2. Значения циклической компоненты S получены копированием S3 по всем периодам.

Далее вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: TE=Y/S (см. формулу (41)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), по­лучим формулу для тренда: T(t)=-2,77t+90,57. По этой формуле вычислим зна­чения тренда, а затем – значения случайной компоненты E (E=Y/(TS)). Абсо­лютная погрешность модели рассчитывается по формуле: Eabs=Y-TS.

На рис. 11 компоненты ряда показаны графически. Заметим, что абсо­лютная погрешность существенно меньше уровней ряда и тренда. Кроме того, случайная компонента практически для всех значе­ний t близка к единице. По­этому оценки тренда и циклической составляю­щей вполне приемлемы.

 


Таблица 20.Данные о прибыли компании

t y u1 u2 S1 S2 S3 S T*E=Y/S T E Eabs
          0,914 78,804 87,792 0,898 -8,212
81,5         1,202 83,182 85,019 0,978 -2,208
81,25 1,108 1,088 1,082 1,082 83,153 82,245 1,011 0,982
0,800 0,806 0,802 0,802 79,819 79,472 1,004 0,278
76,5 77,75 0,900 0,918 0,914 0,914 76,615 76,699 0,999 -0,077
75,75 1,215 1,208 1,202 1,202 76,527 73,926 1,035 3,127
1,081     1,082 73,914 71,152 1,039 2,989
71,5 0,811     0,802 72,336 68,379 1,058 3,173
68,5 0,905     0,914 67,859 65,606 1,034 2,059
64,5 65,75 1,217     1,202 66,545 62,833 1,059 4,463
63,25 1,075     1,082 62,827 60,059 1,046 2,995
59,5 0,807     0,802 59,865 57,286 1,045 2,067
52,5 54,75 0,950     0,914 56,914 54,513 1,044 2,194
50,25 1,194     1,202 49,909 51,740 0,965 -2,201
    Сумма 4,021   1,082 46,196 48,966 0,943 -2,998
    Среднее 1,005   0,802 37,415 46,193 0,810 -7,038

 

3. Задание на самостоятельную работу

1. В таблице 21* представлены данные о производительности труда Y для некоторого предприятия с 1987 по 1996 г. Получить уравнения и графики трендов: линейного, логарифмического, степенного, полиномиального, экспоненциального. Выбрать из них тренд, наиболее соответствующий наблюдениям (сравни­вая значение R2). Для выбранного тренда проверить гипотезу независимости остатков по критерию Дарбина-Уотсона (при n=10 dн=0,88 dв=1,32). Зачем надо проверять эту гипотезу?

2. В таблице 22** приведено среднее число y яиц на несушку на каждый месяц по США с 1938 по 1940 г. Требуется:

1) построить график y(t) и коррелограмму. Анализируя их, ответить на вопросы: содержит ли ряд линейный тренд? Содержит ли ряд циклическую со­ставляющую? Чему равен период циклической составляющей Тц? Какая модель подходит для описания ряда – аддитивная или мультипликативная?

2) определить компоненты ряда.

Таблица 22. Среднее число y яиц на несушку

Год Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
7,9 9,9 15,4 17,5 17,3 14,9
9,7 14,9 14,6
7,2 14,4 16,5 14,8
Год Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
13,6 11,8 9,4 7,5 5,9 6,4
13,2 11,7 9,3 7,4 6,8
13,4 11,8 9,7 7,9 6,2 6,2

3. В таблице 23 даны уровни некоторого ряда, время t измеряется в кварталах. Провести для этих данных исследования, аналогичные п.2.

Таблица 23. Уровни ряда

t
y

Практическая работа №5. Использование фиктивных
переменных при решении задач эконометрики

Теоретическая часть









Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 41;


lektsia.info 2017 год. Все права принадлежат их авторам! Главная