4.1. Множество Парето.
Несмотря на ряд существенных трудностей, связанных с неопределенностью, мы до сих пор рассматривали только самые простые случаи, когда ясен критерий, по которому производится оценка эффективности, и требуется обратить в максимум (минимум) один-единственный показатель 
. К сожалению, на практике такие задачи, где критерий оценки однозначно диктуется целевой направленностью операции, встречаются не так уж часто. Когда идет речь о крупномасштабных, сложных операциях, эффективность, как правило, не может быть полностью охарактеризована с помощью одного-единственного показателя . На практике часто возникает ситуация, когда эффективность операции приходится оценивать не по одному, а сразу по нескольким критериям 
. Такие задачи исследования операций называются многокритериальными. Главной особенностью этой ситуации является то, что требования ко всем показателям несовместимы или противоречивы. Как правило, требование 
не обращает ни в максимум ни в минимум другие критерии 
. Для сравнения векторов 
удобно привести все показатели к стандартному, чтобы все критерии минимизировались и чтобы они имели безразмерный масштаб. Векторный критерий считается стандартным, если он удовлетворяет условию 
, и чем меньше 
, тем лучше операция (система). Таким образом, идеальной считается система, у которой 
. Полностью идеальной системе соответствует 
.
Прежде всего, анализ векторов позволяет заранее отбросить явно нерациональные варианты решений, уступающие лучшим вариантам по всем показателям. Пусть имеется многокритериальная задача исследования операций с 
критериями 
. Для простоты предположим, что все эти величины желательно максимизировать. Пусть в составе множества возможных решений есть две альтернативы 
такие, что все критерии для первого решения больше или равны соответствующим критериям для второго решения, причем хотя бы один из них действительно больше. Очевидно, тогда в составе множества альтернатив 
нет смысла сохранять решение 
, оно вытесняется (или, как говорят, «доминируется») решением 
. Ладно, выбросим решение как неконкурентоспособное и перейдем к сравнению других альтернатив по всем критериям. В результате такой процедуры отбрасывания заведомо непригодных, невыгодных решений множество обычно сильно уменьшается: в нем сохраняются только так называемые эффективные решения, характерные тем, что ни для одного из них не существует доминирующего решения.
Определение. Множество, в котором ни для одного из элементов не существует доминирующего решения называется множеством Парето.
Так как множество Парето, как правило, содержит более чем одну альтернативу, то для получения единственного решения необходимо применить дополнительные принципы оптимальности (условия согласования критериев).
Проиллюстрируем прием выделения паретовских решений на примере задачи с двумя критериями: 
(оба требуется максимизировать). Множество состоит из конечного числа 
возможных решений 
. Каждому решению соответствуют определенные значения показателей ;будем изображать решение точкой на плоскости с координатами и занумеруем точки соответственно номеру решения (рис.7).
Очевидно, из всего множества эффективными будут только решения 
,лежащие на правой верхней границе области возможных решений. Для всякого другого решения существует хотя бы одно доминирующее, для которого либо 
,либо 
,либо оба больше, чем для данного. И только для решений, лежащих на правой верхней границе, доминирующих не существует.
Когда из множества возможных решений выделены эффективные, «переговоры» могут вестись уже в
Рис. 7 пределах этого «эффективного» множества. На рис. 7 его образуют четыре решения: . Из них 
– наилучшее по критерию , 
– по критерию . Дело лица, принимающего решение, выбрать тот вариант, который для него предпочтителен и «приемлем» по обоим критериям.
Аналогично строится множество эффективных решений и в случае, когда показателей не два, а больше (при числе их, большем трех, геометрическая интерпретация теряет наглядность, но суть дела сохраняется). Множество эффективных решений легче обозримо, чем множество .
4.2. Методы оптимизации на множестве Парето.
После нахождения множества Парето, если количество альтернатив в нем больше двух, встает вопрос о выборе единственного решения. Так как альтернативы на множестве Парето обладают таким свойством, что каждая из них лучше по одному критерию, но хуже по другому, то объективно предпочесть одну из альтернатив невозможно. Поэтому необходимо выбрать некоторую схему компромиссов для всей совокупности критериев. Далее представлены несколько методов решения задач многоцелевого программирования. Все методы основаны на сведении множества частных целей к одной целевой функции. Эти методы различны по своей природе и в общем случае дают оптимальные решения, не совпадающие между собой. Вместе с тем нельзя сказать, что один из этих методов лучше другого; в сущности, они предназначены для решения задач с разными предпочтениями в процессе принятия решений.
Принцип равенства критериев.
В этом случае считается, что оптимальной является альтернатива из множества Парето, при которой все критерии, приведенные к стандартной форме ( 
), равны.
Принцип равного влияния.
Здесь оптимальной считается альтернатива множества Парето, при которой
 .
| (4.1) |
По сути это точка касания данной гиперплоскости с множеством Парето.
Метод весовых коэффициентов.
В методе весовых коэффициентов единственная целевая функция формируется как взвешенная сумма исходных частных целевых функций.
Предположим, что модель целевого программирования имеет целей следующего вида
 .
| (4.2) |
В методе весовых коэффициентов обобщенная целевая функция определяется следующим образом
 .
| (4.3) |
Здесь 
– положительные весовые коэффициенты, которые отображают предпочтения, отдаваемые каждой цели. Например, вариант 
для всех i говорит о равнозначности всех целей. Чем больше вес компоненты критерия, тем большее влияние оказывает этот критерий. Задание значений весовым коэффициентам очень субъективно. Однако, набирая статистику по результатам выбора, можно, например, разумным образом подобрать значения «весов» в формуле (3.25), в общем случае зависящих как от условий, так и самих показателей , и воспользоваться таким обобщенным критерием для выбора решения, на этот раз уже автоматического, без участия человека. На это иногда приходится идти в случаях, когда времени на обдумывание компромиссного решения нет (например, в условиях боевых действий), или же в случае, когда выбор решения передается автоматизированной системе управления (АСУ).
Метод приоритетов.
В этом методе сначала целевые функции ранжируются в порядке их важности, так как их оценивает специалист по принятию решений. Далее поочередно решаются задачи с одной целевой функцией, начиная с задачи с целевой функцией , имеющей наивысший приоритет, и заканчивая задачей с целевой функцией 
, имеющей минимальный приоритет. В процессе решения последовательных задач решение задачи с целевой функцией, имеющей более низкий приоритет, не должно ухудшать полученные ранее решения задач с целевыми функциями, имеющими более высокий приоритет. Это означает, что если 
– оптимальное значение целевой функции 
, то для всех 
оптимизация любой целевой функции 
с меньшим приоритетом не может ухудшить значение . Для этого все показатели эффективности 
, переводятся в разряд ограничений на достигнутом ранее уровне. Варианты решения, не укладывающиеся в заданные границы, сразу же отбрасываются как недопустимые.
Метод последовательных уступок.
Этот метод аналогичен предыдущему. Сначала ищется решение, обращающее в максимум первый (важнейший) показатель 
, но исходя из практических соображений и точности исходных данных, назначается некоторая «уступка» 
, которую мы согласны сделать для того, чтобы максимизировать второй критерий показатель 
. Наложим на показатель ограничение: потребуем, чтобы он был не меньше, чем 
,и при этом ограничении ищем решение, обращающее в максимум . Далее снова назначим «уступку» в ,ценой которой можно максимизировать 
,и т. д. Такой способ построения компромиссного решения хорош тем, что здесь сразу видно, ценой какой «уступки» в одном показателе приобретается выигрыш в другом, и какова величина этого выигрыша. Заметим, что иногда даже при малом 
можно достичь существенного улучшения других критериев.
Следует отметить, что в приведенных методах используется процедура упорядочения критериев по их важности. Эта самостоятельная проблема является не до конца формализованной, и окончательный выбор решения всегда определяется волевым актом или на основе метода экспертных оценок.
Прежде чем перейти к методу экспертных оценок, рассмотрим типы измерительных шкал, которыми руководствуются эксперты в своих оценках.
Измерительные шкалы.
Рациональное использование информации, получаемой от экспертов, возможно при условии преобразования ее в форму, удобную для дальнейшего анализа, направленного на подготовку и принятие решений.
Если эксперт в состоянии сравнить и оценить возможные варианты действий, приписав каждому из них определенное число, будем считать, что он обладает определенной системой предпочтений.
В зависимости от того, по какой шкале могут быть заданы эти предпочтения, экспертные оценки содержат больший или меньший объем информации и обладают различной способностью к математической формализации.
В жизни мы привыкли пользоваться количественными показателями, выраженными в разных измерительных шкалах. Можно записать, что вес тела равен 5 кг, но можно использовать и другую шкалу – 5000 г или 0,005 т, но можно указать интервал: «вес тела больше 3 кг и меньше 10 кг» или «вес тела в пределах первого десятка». Вместо «750 мм ртутного столба» можно записать «1000 гектопаскалей», а можно указать, что «атмосферное давление несколько выше нормы». «451 градус по Фаренгейту» (температура возгорания бумаги) – это «232,78 градусов Цельсия» или «505,93 градусов Кельвина». Понятия «шкала измерения», «тип шкалы», «допустимые преобразования» играют важную роль в теории измерений.
Рассмотрим основные логические аксиомы, используемые в экспертных методах при формализации информации с помощью различных шкал.
5.1. Дихотомическая (номинальная) шкала.
Если различные градации шкалы измерения показателя нельзя упорядочить по условию «больше – меньше» («лучше – хуже») или расположить в порядке появления во времени, то такая совокупность градаций образует шкалу наименований. Шкалу наименований имеют показатели, градации которых могут быть заданы только в виде перечня. В частности, шкала, содержащая всего две градации – «есть» и «нет» (дихотомическая) – является шкалой наименований. Характеристикой центральной тенденции (среднего) на шкале наименований может служить «мода» – значение показателя, которое указано наибольшим числом экспертов, или же наибольшее число раз встретилось в проведённом статистическом исследовании (если речь идёт, например, о видах дефектов продукции). Для небольшого числа оценок эта характеристика также теряет смысл, и тогда центральную тенденцию характеризовать невозможно. Если в распределении двум (или нескольким) каким-либо значениям показателя соответствуют приблизительно одинаковые числа оценок, распределение называют бимодальным (полимодальным).
При использовании номинальных шкал исследуемые объекты можно опознавать на основе трех аксиом идентификации:
1) Х либо есть Y, либо есть не Y;
2) если Х есть Y, то Y есть Х;
3) если Х есть Y, и Y есть Z, то Х есть Z.
Дихотомическая шкала позволяет отметить, относится ли данный объект к интересующей нас группе или нет.
Пример. Две сравниваемые переменные X (семейное положение) и Y (отчисление из института) измеряются в дихотомической шкале (табл.22).
Для вычисления коэффициента корреляции Пирсона составляется таблица сопряжённости (табл.23).
Таблица 22
| № испытуемого | Значение Х | Значение Y |
По этим данным построим корреляционную таблицу
Таблица 23.
| Признак Х Признак Y | Всего | ||
| А=2 | В=3 | А+В=5 | |
| С=4 | D=1 | C+D=5 | |
| Всего | А+С=6 | В+D=4 |
Вычисление коэффициента корреляции Пирсона для дихотомических данных проводится по формуле
| (5.1) |
Напомним, что при 
случайные величины и 
являются независимыми, а при 
связь между ними линейная. Так как в нашем случае 
, то корреляция между величинами существует, но непрямая ( 
).
5.2. Шкала наименований.
Шкала наименований (номинальная), в которой числа используются исключительно с целью обозначения объектов. Кроме сравнения на совпадение, любые арифметические действия над числами, обозначающими имена объектов, бессмысленны. С помощью шкалы наименований часто отмечают, присутствует или отсутствует какой-то признак в объекте.
Аксиомы тождества:
| (5.2) |
Допустимые операции:
– символ Кронекера 
;
– число наблюдений 
го класса; 
;
– относительная частота класса 
;
– мода 
;
– коэффициент согласия (конкордации);
– проверка по тесту 
.
Примеры номинальных шкал: названия болезней; почтовые, телефонные, автомобильные индексы регионов и стран; пол человека.
5.3. Шкала порядков (ранговые шкалы).
В случаях, когда исследуемые объекты можно в результате сравнения расположить в определенной последовательности с учетом какого-либо существенного фактора (факторов), используются порядковые шкалы, позволяющие устанавливать равноценность или доминирование.
Шкала порядков (ранговая шкала), при измерении в которой мы получаем информацию лишь о том, в каком порядке объекты следуют друг за другом по какому-то свойству. Примером могут служить шкалы, по которым измеряются твёрдость материалов, «похожесть» объектов. К этой группе шкал относится большинство шкал, используемых в социологических и психологических исследованиях. Частным случаем шкал порядка являются балльные шкалы, используемые в практике спортивного судейства или оценок знаний в школе. Если, скажем, по некоторой дисциплине два студента имеют оценки «отлично» и «удовлетворительно», то можно лишь утверждать, что уровень подготовки по этой дисциплине первого студента выше (больше), чем второго, но нельзя сказать, на сколько или во сколько раз больше.
Оказывается, что в таких случаях проблема оценки тесноты связи разрешима, если упорядочить, или ранжировать, объекты анализа по степени выраженности измеряемых признаков. При этом каждому объекту присваивается определенный номер, называемый рангом. Например, объекту с наименьшим проявлением (значением) признака присваивается ранг 1, следующему за ним – ранг 2 и т.д. Объекты можно располагать и в порядке убывания проявления (значений) признака. Если объекты ранжированы по двум признакам, то имеется возможность оценить тесноту связи между признаками, основываясь на рангах, т.е. тесноту ранговой корреляции.
В дополнение к (5.2) в этой шкале необходимо добавить следующие аксиомы - аксиомы упорядоченности:
| Шкала простого порядка | Шкала слабого порядка |
4. Если  , то 
| 4̽. Либо  , либо 
|
5. Если , и  , то 
| 5̽. Если , и  , то  .
|
Существует ещё шкала частичного порядка. «Частичный порядок» часто встречается при оценке субъективных предпочтений.
Примеры шкалы порядков:
1) Более длинный отпуск предпочтительнее уменьшения рабочего дня на полчаса. Уменьшение рабочего дня на полчаса предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р. Но необязательно более длинный отпуск предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р.
2) Что лучше: клетчатые шарфы или семискоростные миксеры; чтение литературы или прослушивание музыкальных записей.
3) Шкала твёрдости по Моору (1811 г.): из двух минералов твёрже тот, который оставляет на другом царапины или вмятины при достаточно сильном соприкосновении. Эталоны: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз.
4) Шкала силы ветра по Бофорту (1806 г.). Сила ветра определяется по волнению моря: 0 – штиль, 4 – умеренный ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган.
5) Балльные шкалы оценки знаний учащихся.
Отметим, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они выражены числами, нельзя рассматривать как числа, например, нельзя вычислять выборочное среднее.
Допустимые операции:
– ранг объёма
 , где  .
| (5.3) |
Ранги можно присваивать по старшему в группе одинаковых, по среднему, либо случайным образом.
– выборочная медиана, т.е. наблюдение с рангом 
, ближайшее к 
;
– выборочные квантили любого уровня 
, т.е. наблюдение с рангом , ближайшим к 
;
– коэффициенты корреляции: 
- Спирмена, 
- Кендалла.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена находится по формуле:
 .
| (5.4) |
где 
и 
ранги 
го объекта по переменным и , 
число пар наблюдений.
Если ранги всех объектов равны ( 
), то 
, т.е. при полной прямой связи . При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке, можно показать, что 
и по формуле (5.4) 
. Во всех остальных случаях 
.
Коэффициент ранговой корреляции Кендалла находится по формуле:
 .
| (5.5) |
Для определения необходимо ранжировать объекты по одной переменной в порядке возрастания рангов и определить соответствующие их ранги ( 
) по другой переменной. Статистика равна общему числу инверсий (нарушений порядка, когда большее число стоит слева от меньшего) в ранговой последовательности (ранжировке) . При полном совпадении двух ранжировок имеем и 
; при полной противоположности можно показать, что 
и 
. Во всех остальных случаях 
.
5.4. Шкала интервалов.
Шкала интервалов, в которой можно менять как начало отсчёта, так и единицы измерения. Если упорядочивание объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них, то измерение оказывается значительно сильнее, чем в шкале порядка. Естественно выражать все измерения в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы. Следствием такой равномерности шкал этого класса является независимость отношения двух интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы измерены (т.е. какова единица длины и какое значение принято за начало отсчёта).
Если в одной шкале измеренные интервалы равны 
и 
, а во второй – 
и 
, то справедливо соотношение: 
.
В этой шкале только интервалы могут иметь смысл настоящих чисел, допускающих математические действия с ними. Примерами шкал интервалов могут быть шкалы для измерения температуры (Цельсия, Кельвина (К = 273 + С), Фаренгейта (F = 5/9C + 32)), давления, промежутков времени и т.п.
Допустимые операции – определение интервала между двумя измерениями. Над интервалами – любые арифметические или статистические операции.
5.5. Шкала отношений.
Шкала отношений, в которой начало отсчёта неизменно, а единицы измерения можно изменять (масштабировать). К предыдущим пяти аксиомам необходимо добавить еще четыре.
Аксиомы аддитивности:
| (5.6) |
Измерения в этой шкале являются полноправными числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия. Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из шкал произведены измерения, т.е. 
.
Примерами шкал отношений являются шкалы для измерения веса, длины и т.п.
5.6. Абсолютная шкала.
Абсолютная шкала, результатом измерения в которой является число, выражающее количество элементов в множестве. В данной шкале начало отсчёта и единицы измерения неизменны. Числа, полученные по такой шкале, можно складывать, вычитать, делить, умножать – все эти действия будут осмысленными. Из перечисленных шкал абсолютная шкала является самой «сильной», а номинальная – самой «слабой». Действительно, из абсолютных данных можно узнать всё то, что могут дать любые другие шкалы, но не наоборот.
Пример. Из того, что в группе А – 15 студентов, в группе В – 20, а в группе С – 30, можно узнать:
в А студентов в 2 раза меньше, чем в С (шкала отношений);
в В студентов на 10 человек меньше, чем в С (шкала интервалов);
в А студентов просто меньше, чем в В и С (шкала порядка);
в А, В, С студентов не одно и то же количество (шкала наименований).
Использовать только абсолютные шкалы не всегда целесообразно. Для получения информации о свойствах, измеряемых в сильных шкалах, требуются более совершенные (сложные, дорогие) измерительные приборы и процедуры. К тому же, таких приборов и процедур для измерения многих характеристик просто нет. Например, можно выяснить, чего данному человеку хочется больше – чая или кофе, но определить, насколько больше или во сколько раз, затруднительно.
В зависимости от существа или важности того или иного фактора на этапе подготовки и принятия решений могут быть использованы различные шкалы. В таблице приведены типы шкал и их основные характеристики.