ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ

Ввиду трудности интегрирования дифференциального уравненияупругой линии стержня часто применяют различные приближенные методы определениякритической силы. Одним из таких методов является энергетический, основанныйна исследовании изменения потенциальной энергии при переходе стержня изпрямолинейной в криволинейную форму равновесия. Поскольку критическим считается то значение сжимающей стерженьсилы, при котором равновозможны как прямолинейная, так и бесконечно близкаяк ней криволинейная формы устойчивого равновесия, то согласно рис. 8.4 формыравновесия I и II равноценны и при переходе из состояния I в состояние IIнет изменения энергии системы в этом случае безразличного равновесия, т.е. {file1233} где изменение полной потенциальной энергии системы складываетсяиз уменьшения потенциала силы Р при переходе из состояния I в состояниеII и приобретения стойкой в состоянии II потенциальной энергии изгиба. Отсюда {file1234} Потенциальная энергия деформаций при изгибе {file1235} Перемещение точки приложения силы Р {file1236} Из этих выражений получаем {file1237} Поскольку в числителе этого выражения - величина, пропорциональнаяпотенциальной энергии деформаций при изгибе, то интеграл в числителе беретсяпо всей длине изогнувшегося при потере устойчивости стержня. Если имеютсяучастки различной жесткости Е, J, то следует взять сумму интегралов по всемn участкам {file1238} В знаменателе выражения для Р_крнаходится величина, пропорциональная перемещению точки приложения нагрузки.Если на стержень действует несколько продольных сил, то следует умножитькаждую j-ю силу (Р_j)на перемещение точки ее приложения) {file1239} здесь I_j- расстояние от точки приложения сжимающей силы до нижней опоры, т.е. длинасжимаемого этой силой участка; N - число I продольных сил. {file1240} Рис. 8.4 {file1241} Рис. 8.5 Так, например, для стержня, изображенного на рис. 8.5, балансэнергии имел бы вид: {file1242} {file1243} где n - число участков различной жесткости, здесь n = 3. Во всех этих выражениях у = f (z) - функция прогибов, которуюподбираем (поэтому метод приближенный) с учетом граничных условий. Это можетбыть, например, тригонометрическое выражение, алгебраическое выражение илиполином, степень которого равна числу граничных условий. Если функция у= f(z) соответствует истинной форме изогнутой оси, то и решение будет точным. Анализируя граничные условия, следует, изобразив стерженьв деформированном после потери устойчивости состоянии, провести обязательнооси координат и относительно этих координатных осей продумать, где будутравны нулю: у - перемещение, у^II- угол поворота оси стержня, у^III- кривизна, т.е. величина, пропорциональная изгибающему моменту. Последнее граничное условие (по у^II) обычно вызывает наибольшие трудности. Основная идея: поскольку изгибающиймомент пропорционален кривизне оси бруса у^II, то у^IIравно нупю там, где равен нулю изгибающий момент, это свободные и шарнирноопертые концы стержня. Следует обратить внимание на то, что на промежуточной шарнирнойопоре в общем случае у^II# 0 (так как там не равен нулю изгибающий момент).