Давно известно, что давление газа над поверхностью Земли
уменьшается с высотой. Атмосферное давление на некоторой высоте h
обусловлено весом вышележащих слоев воздуха. Пусть на высоте h
давление равно p . Тогда на высоте h + dh давление будет равно p +
dp (рис.9.3). Разность давлений dp = dF/S , где dF = rSdhg вес
столба воздуха в объеме Sdh , S - площадь основания цилиндра, r -
плотность воздуха, g - ускорение земного притяжения. Отсюда
получим
dp = -r·g·dh. (9.11)
Знак минус показывает, что давление убывает с высотой. В этом
выражении кроме p и h есть еще одна переменная r = m·n , где m -
масса одной молекулы, n - число молекул в единице объема.
Подставляя сюда выражение для n из формулы (9.7), получим r =
mp/(kT) . Подставляя это выражение в формулу (9.11), получим
dp/p = - mgdh /(kT). (9.12)
Получили дифференциальное уравнение для p как функции от h .
Положим T = const . Суммируя все dp/p в пределах от po до p , при
соответствующем суммировании правой части, когда высота изменяется
от 0 до h , приходим к определенным интегралам:
= -
После интегрирования получим ln(p/po) = - mgh/(kT) . Потенцируя,
получим
p = poexp[-mgh/(kT)] . (9.13)
Эта формула характеризует зависимость давления от высоты, и поэтому
называется барометрической. Приборы, принцип действия которых
основан на этой формуле, позволяют измерять высоту по давлению,
которое существует на данной высоте. Эти приборы называются
альтиметрами. Их применяют, например, в авиации.
В показатель экспоненты (9.13) входит масса молекулы.
Следовательно, концентрация более тяжелых молекул будет с высотой
убывать быстрее. Поэтому на больших высотах уменьшается процентное
содержание кислорода по сравнению с азотом. Летчики, летающие на
очень больших высотах, часто пользуются кислородными масками. Спад
концентрации молекул с высотой зависит также от g (от массы
планеты). Чем меньше g , тем дальше от планеты уходит газ и в конце
концов ее покидает, Поэтому на малых планетах, например на Луне,
атмосферы нет. На планетах с большим g, например, на Юпитере, где
температура атмосферы близка к абсолютному нулю, молекулы атмосферы
расположены практически слоем, напоминающим земной океан.
Барометрическая формула является частным случаем распределения
Больцмана. Согласно формуле (9.7) давление пропорционально
концентрации молекул n . Поэтому формулу (9.13) можно представить в
следующем виде
n = noexp[-mgh /(kT)], (9.14)
где no - число молекул в единице объема при h = 0 . На разной
высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии Eп
= mgh . Вводя Eп в формулу (9.14), получим
n = noexp[-Eп /(kT)]. (9.15)
Больцман показал, что распределение (9.15) справедливо не только в
поле земного тяготения, но и в любом потенциальном поле любых сил
для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в тепловом
движении. В соответствии с этим распределение (9.15) называют
распределением Больцмана (по имени выдающегося австрийского физика,
получившего его в 1896 г.). Центробежное потенциальное поле сил,
намного превышающих силы земного притяжения, возникает в
центрифугах. Распределение (9.15) позволяет рассчитать
распределение частиц в этом поле и затем провести оптимально
разделение по слоям изотопов различных элементов, мельчайших
шлиф-порошков и т.д.
ЛЕКЦИЯ 14