Бозон - это частица или (квазичастица - как, например, фонон -
квант упругих колебаний в твердых телах) с нулевым или
целочисленным спином. К бозонам, как уже упоминалось, относятся
также фотоны (спин s = 1), составные частицы, состоящие из четного
числа фермионов (например, атом 42He), куперовские пары электронов,
образование которых приводит к сверхпроводимости.
Распределение Бозе-Эйнштейна дает <n(Ei)> среднее число
невзаимодействующих между собой бозонов в состоянии с энергией Ei ,
где i - набор квантовых чисел, характеризующих квантовое состояние.
Формула распределения Бозе-Эйштейна имеет следующий вид:
где µ - химический потенциал; T - абсолютная температура; k -
постоянная Больцмана.
В отличие от распределения Ферми-Дирака в знаменателе стоит "минус
единица". Вследствие этого химический потенциал µ для бозонов не
может быть положительным. Иначе при Ei < µ (если бы µ > 0!)
показатель экспоненты в знаменателе стал бы отрицательным,
экспонента стала бы меньше единицы и некоторые из чисел заполнения
ni стали бы отрицательными, что невозможно.
Если полное число частиц в системе не фиксировано, как, например,
для фотонов при тепловом излучении, то химический потенциал µ равен
нулю.
При фиксированном числе частиц величину µ определяют из условия
нормировки, как и в случае распределения Ферми-Дирака.
Применим распределение Бозе-Эйнштейна для вывода формулы Планка для
u(ω, Т) - функции распределения плотности энергии в спектре
излучения абсолютно черного тела.
При обычных, не лазерных, интенсивностях фотоны можно считать
невзаимодействующими между собой бозонами, поэтому тепловое
излучение, находящееся в равновесии со стенками излучающей полости
можно рассматривать как идеальный фотонный газ.
Как было отмечено выше, химический потенциал для системы фотонов µ
= 0. Энергия фотона , следовательно, распределение Бозе-Эйнштейна
для фотонов имеет следующий вид:
здесь <n(ωi)> - среднее число фотонов с частотой ωi. Частота
ωi задает квантовое состояние фотона.
Пусть ΔE обозначает энергию фотонов, находящихся в объеме ΔV и
имеющих частоты, лежащие в интервале Δω.
Тогда
имеет смысл функции распределения плотности энергии в спектре
излучения абсолютно черного тела (спектральное распределение).
Пусть ΔZ(ωi) - число квантовых состояний фотонов в объеме ΔV и
интервале частот от ωi до ωi + Δω.
Тогда
так как произведение дает среднюю энергию фотонов частоты ωi, т.е.
среднюю энергию в одном квантовом состоянии. Функция <n(ωi)>
известна, поэтому задача состоит в нахождении числа квантовых
состояний ΔZ(ωi).
Подсчет числа квантовых состояний ΔZ делается с использованием
формулы (10.5), т.е.:
здесь двойка учитывает две возможные поляризации фотонов. Фазовый
объем.
где - объем сферического слоя в пространстве импульсов.
Импульс фотона (см. (5.3)):
значит
Тогда
Так как частоты ωi меняются квазинепрерывно, то мы опустили индекс
i, нумерующий квантовые состояния.
Подставляя в формулу (12.11) для ΔE полученное выражение ΔZ(ω)
(12.12) и функцию распределения Бозе-Эйнштейна для фотонов (12.9),
получим:
Используя это выражение, получим формулу Планка для функции
распределения плотности энергии в спектре излучения абсолютно
черного тела:
Из нее, как показано в лекции N 2, § 1, следует формула для
спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного
тела (см. (2.1), (2.2)).