Решение СЛОДУ определяется с помощью переходной матрицы для вектора начальных условий следующим выражением:
.
Пусть требуется получить решение СЛОДУ в узлах равномерной сетки
с известным шагом h. Для этого рассмотрим решения в двух последовательных узлах сетки, например:
Продолжая вычисления указанным способом, получим общее выражение для решения СЛОДУ на узлах равномерной сетки:
Таким образом, решение СЛОДУ задается рекуррентным разностным уравнением с постоянной (для фиксированного шага сетки) матрицей системы
.
Для вычисления матрицы можно воспользоваться тем, что матричный ряд
сходится абсолютно для любого h, в связи с чем величину можно вычислять путем непосредственного суммирования ряда из N членов
где .
Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений
Как было выведено ранее, математическая модель линейной динамической системы представляет собой задачу Коши для СЛНДУ:
.
где вектор-функция известна для любого момента времени. Найдем решение СЛНДУ. Для этого произведем замену переменных
,
где – решение СЛНДУ, ‚ – переходная матрица для СЛОДУ
Продифференцировав величину
по переменной t с учетом того, что в силу СЛНДУ, получим:
При переходе к последнему равенству воспользовались равенством
,
которое следует из представления в виде ряда.
Интегрируя выражение
на интервале получим:
Подставив в него и получим
Окончательно решение СЛНДУ будет иметь вид:
Формула для решения СЛНДУ носит название формулы Коши.
Численное решение СЛНДУ
Воспользуемся формулой Коши для построения алгоритма численного решения СЛНДУ, то есть решений , вычисленных в узлах равномерной сетки
Вычислим !!!!!!!!! в соответствии с формулой Коши:
.
Считая величину h малой, можно пренебречь изменением входного сигнала на интервале , то есть считать
тогда
Интеграл вычислим путем замены переменных
откуда
тогда
Обозначив величины
,
получим выражение для решения в первом узле сетки:
.
Вычислив по указанной методике, получим
Аналогично для i-го узла сетки решение определяется следующей дискретной системой:
Матрицы и вычисляют разложением в матричный ряд, тогда
Отсюда
В MATLAB реализована команда вычисления матриц дискретной системы и по матрицам А, В исходной системы:
[ad,bd]=c2d(a,b,h);
где a, b – матрицы исходной системы, h – величина шага по времени, ad и bd – матрицы дискретной системы.
Преобразование линейных моделей
Переход От СЛДУ к ЛДУ n-го порядка
Описание линейной динамической системы в виде СЛДУ -
называют описанием в форме пространства состояний, т. к. . x – вектор состояния или фазовый вектор.
Описание в форме пространства состояний связано с описанием в форме “вход—выход”, т.е. с математическим описанием, непосредственно связывающим выход и его производные со входом и его производными:
где , – квадратные матрицы строения , а – матрицы строения .
Если ввести оператор дифференцирования , уравнение преобразуется к виду
т.е. может быть записано в операторной форме
где - матричные полиномы от оператора p (коэффициенты этих полиномов — матрицы).
Если ввести – обратную матрицу, то формально можно записать
где – передаточная функция динамической системы. При этом – условная запись, под которой понимают, строго говоря, выражение
,
т.е. дифференциальное уравнение !!!!!!-го порядка.
Если и – скалярные выход и вход, то – скалярные полиномs, поэтому
где
,
и является дробно-рациональной функцией.
Найдем выражение для матричных полиномов через матрицы системы A, B, C, D.
Уравнение состояния имеет вид
Уравнение выходов имеет вид
Найдем выражение для r-й производной выхода , где r – произвольное число. Делать это будем путем последовательного дифференцирования уравнений выхода.
Для имеем:
Матрицу можно выразить через . По теореме Гамильтона-Кэли матрица А является корнем своего характеристического полинома. Если
– характеристический полином матрицы А, то при .
где I –- единичная матрица, 0 – нулевая матрица строения .
Следовательно, первое слагаемое в выражении для можно записать как
и выражение для примет вид:
Из выражения для получаем:
Подставим его в предыдущее выражение. Получим запись следующего вида:
Ее преобразуем к виду
а затем
В последнем выражении подразумевается (в характеристическом полиноме это коэффициент при . В правой части этого выражения присутствуют следующие слагаемые:
т.е. правая часть имеет вид
где
Таким образом . Учитывая, что !!!!!!! , , получаем
что эквивалентно записи
,
где – характеристический полином. Последняя запись эквивалентна передаточной функции (ПФ) , рассмотренной выше.
В общем случае, когда вход u и выход y являются не скалярными, а векторными, мы имеем дело с матричной ПФ от u к y. В этом случае вместо полинома получается матрица
,
где - полином. При этом
.
Связь между и определяет соотношение
где
Ее элементы - это представляющие собой ПФ от i-го входа к j-му выходу. Таким образом, знаменатель всех ПФ один и тот же и равен – характеристическому полиному матрицы А. Матричную ПФ можно получить и при помощи преобразования Лапласа для системы
Применив преобразование Лапласа L к вектор-функциям , , :
получим
или
или
а также
Отсюда
где – это матричная ПФ вида
Здесь – полиномы относительно s, они совпадают с полиномами .
Поэтому в области изображений
Полиномы можно вычислять приведенным ранее способом.