Если поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она оказывает на жидкость избыточное (добавочное) давление. Это давление, обусловленное силами поверхностного натяжения, для выпуклой поверхности положительно, а для вогнутой поверхности — отрицательно.
Для расчета избыточного давления предположим, что свободная поверхность жидкости имеет форму сферы радиуса R, от которой мысленно отсечен шаровой сегмент, опирающийся на окружность радиуса r=Rsina (рис. 100). На каждый бесконечно малый элемент длины Dl этого контура действует сила поверхностного натяжения DF = s Dl, касательная к поверхности сферы. Разложив DF на два компонента (DF1 и DF2), видим, что геометрическая сумма сил DF2 равна нулю, так как эти силы на противоположных сторонах контура направлены в обратные стороны и взаимно уравновешиваются. Поэтому равнодействующая сил поверхностного натяжения, действующих на вырезанный сегмент, направлена перпендикулярно плоскости сечения внутрь жидкости и равна алгебраической сумме составляющих DF1:
Разделив эту силу на площадь основания сегмента pr2, вычислим избыточное давление на жидкость, создаваемое силами поверхностного натяжения и обусловленное кривизной поверхности:
(68.1)
Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результирующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости и равна
(68.2)
Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем в газе, на величину Dp.
Формулы (68.1) и (68.2) являются частным случаем формулы Лапласа,* определяющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:
(68.3)
где R1 и R2 — радиусы кривизны двух любых взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости в данной точке. Радиус кривизны положителен, если центр кривизны соответствующего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости.
Для сферической искривленной поверхности (R1=R2=R) выражение (68.3) переходит в (68.1),
для цилиндрической (R1=R и R2=¥) — избыточное давление
В случае плоской поверхности (R1=R2=¥) силы поверхностного натяжения избыточного давления не создают.
Капиллярные явления.
Если поместить узкую трубку(капилляр) одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или не смачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости —мениск — имеет вогнутую форму, если не смачивает — выпуклую (рис. 101).
Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное избыточное давление, определяемое по формуле (68.2). Наличие этого давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, таккак под плоской поверхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное избыточное давление приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h, при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление) rgh уравновешивается избыточным давлением Dp, т. е.
где r — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.
Если r — радиус капилляра, q — краевой угол, то из рис. 101 следует, что (2s cosq)/r = rgh, откуда
(69.1)
В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а не смачивающая — опускается, из формулы (69.1) при q<p/2 (cos q>0) получим положительные значения h, а при q>p/2 (cosq<0) — отрицательные. Из выражения (69.1) видно также, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (q=0) вода (r =1000 кг/м3, s = 0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10мкм поднимается на высоту h »3 м.
Капиллярные явления играют большую роль в природа и технике. Например, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет поднятия воды по тончайшим капиллярам. На капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т. д.