Динамическое представление сигналов. Многие задачи радиотехники
требуют специфической формы представления сигналов. Для решения
этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением
сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его
поведение в “прошлом” и “будущем”.
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. Данный способ получения
моделей сигналов заключается в следующем: Реальный сигнал
представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих
в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю
длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим
точное представление исходного сигнала. Такой способ описания
сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем
самым развивающийся во времени характер процесса. На практике
широкое применение нашли два способа динамического представления.
Первый способ в качестве элементарных сигналов использует
ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки
времени D . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на
интервале времени D. В результате сигнал может быть представлен как
на рисунке 1. рис. 1 При втором способе элементарными сигналами
служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно
примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в
кривую или описанную вокруг нее . В этом случае исходный сигнал
имеет вид как на рисунке 2. рис. 2 Теперь рассмотрим свойства
элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического
представления по первому способу. ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ. Допустим
имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой
: ì 0, t x, u(t) =í 0.5(t/x+1), -x£ t £x, (1) î 1, t > x. Такая
функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта
из “нулевого” в “единичное” состояние. Переход совершается по
линейному закону за время 2x. Теперь если параметр x устремить к
нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет
происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного
сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда :
ì0, t 0, s(t)=í0.5, t =0, (2) î1, t >0. В общем случае функция
включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на
величину t0. Запись смещенной функции такова : ì0, t 0, s(t -
t0)=í0.5, t = t0, (3) î1, t > t0. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ. Рассмотрим
некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0
при t¥ s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+ .=s0s(t)+å(sk-sk-1)s(t-kD). k=1 ·
Если теперь шаг D устремить к нулю. то дискретную переменную kD
можно заменить непрерывной переменной t. При этом малые приращения
значения сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/dt)dt , и мы
получаем формулу динамического представления произвольного сигнала
посредством функций Хевисайда ¥ ó ds S(t)=s0s(t) + ôs(t-t) dt (4) õ
dt 0 Переходя ко второму способу динамического представления
сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы,
следует ввести новое важное понятие - понятие дельта-функции.
ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ . Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной
формы, заданный следующим образом : 1 éxxù u(t;x) = ----- ês (t +
---- ) - s (t - ---- ) ÷ (5) xë 2 2 û При любом выборе параметра x
площадь этого импульса равна единице : ¥ П = òudt = 1 - ¥ Например,
если u- напряжение, то П = 1 В*с. Теперь устремим величину x к
нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь,
поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел
последовательности таких функций при x ® 0 носит название
дельта-функции , или функции Дирака[1] : d(t) = lim u (t;x) x®0
Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной
нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 [2] дельта-функция тем не менее
обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое
изображение дельта-функции : ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА
ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ. Теперь вернемся к задаче описания
аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных
импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в
виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала
на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k
представляется как : hk(t) = Sk[ s(t - tk) - s(t - tk- D) ] (6) В
соответствии с принципом динамического представления исходный
сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных
слагаемых :
¥ S(t) = åh (t) (7) k= - ¥k В этой сумме отличным от нуля будет
только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t :
tkk+1
Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7)
предварительно разделив и умножив на величину шага D, то ¥1 S(t) =
å Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D k=- ¥D Переходя к пределу
при D® 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по
формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать
величине D . Поскольку 1 lim [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] --- D®0
D получим искомую формулу динамического представления сигнала ¥ S
(t) = ò s (t) d(t - t) dt - ¥ Итак, если непрерывную функцию
умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по
времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в
той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в
этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.[3] Из определения
дельта-функции следует (3) . Следовательно, интеграл дельта-функции
от - ¥ до t есть единичный скачок , и дельта-функцию можно
рассматривать как производную единичного скачка : d(t) = 1’ (t) ;
d(t-t0) = 1’ (t-t0) . Обобщенные функции как математические модели
сигналов. В классической математике полагают, что функция S(t)
должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако
рассмотренная функция d(t)не вписывается в эти рамки - ее значение
при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный
интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как
математической модели сигнала. Для этого в математике была введено
принципиально новое понятие обобщенной функции. В основе идеи
обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы
держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со
всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на
всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции
¦(t)может служить, например, значение интеграла ¥ ò¦(t) j(t) dt (8)
- ¥ при известной функции j(t), которую называют пробной функцией.
Каждой функции j(t)отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное
числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает
некоторый функционал на множестве пробных функций j(t).
Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть (¦,
aj1+bj2) = a(¦,j1) + b(¦,j2). Если этот функционал к тому же еще и
непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций j(t)задана
обобщенная функция ¦(t) [4]. Следует сказать, что данную функцию
надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел
соответствующих интегральных сумм. Обобщенные фнкции , даже не
заданные явными выражениями, обладают многими свойствами
классических функкций. Так, обобщенные функции можно
дифференцировать. И в заключение следует сказать, что в настоящее
время теория обобщенных функций получила широкое развитие и
многочисленные применения. На ее основе созданы математические
методы изучения процессов, для которых средства классического
анализа оказываются недостаточными. Литература : 1. А. Л. Зиновьев,
Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ. 2. С. И. Баскаков
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ. [1] Также эту функцию называют
единичной импульсной функцией, [2] Говорят, что дельта-функция
сосредоточена в этой точке. [3] Отсюда вытекает структурная схема
систем, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового
сигнала S(t). Система состоит из двух звеньев : перемножителя и
интегратора. [4] Обобщенные функции иногда называют также
распределениями.