ДИСКРЕТНЫЕ ПОДГРУППЫ В
Определение. Аддитивная подгруппа в называется
дискретной, если существует окрестность нуля , такая что , т.е. в
некоторой окрестности нуля нет ни одного элемента подгруппы
кроме нулевого.
Теорема. Дискретная подгруппа в свободна.
Доказательство.
Пусть - максимальная независимая (над ) система векторов из .
Если , то , где . Разложим на целые и дробные части: , где ,
следовательно, . Рассмотрим множество - компакт.
Лемма. - конечно.
Доказательство.
Если бесконечно, то в существует сходящаяся
последовательность , следовательно - последовательность Коши,
т.е. . Следовательно в любой окрестности нуля будут элементы
из , что противоречит дискретности . Следовательно
конечно.
Таким образом, получили, что - конечно-порожденная группа
(порождается элементами и ) и у нее нет элементов конечного
порядка. Следовательно она свободна.
Теорема. Пусть - дискретная подгруппа в и - базис
в . Тогда - линейно независимы над .
Доказательство.
Пусть эти вектора линейно зависимы, т.е. без ограничения общности
можем считать, что , . Рассмотрим множество , по лемме -
конечно. Для любого целого имеем, что . Этих остатков,
принадлежащих , конечное число, следовательно , такое что , здесь ,
следовательно . Следовательно линейно зависимы над, что
невозможно.