Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо
появится событие А, либо противоположное ему событие . Проведем n
испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы;
вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или
единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не
изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях).
Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании
буквой р, т.е. , а вероятность противоположного события (событие А
не наступило) - буквой .
Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях
ровно k раз, выражается формулой Бернулли
.
Задача 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем
каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и
шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех
вынутых шаров окажется 2 белых.
Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности , .
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
.
Задача 2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5
детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика
и девочки предполагаются одинаковыми.
Решение. Вероятность рождения девочки , тогда . Найдем вероятности
того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три
девочки:
, ,
, .
Следовательно, искомая вероятность
.
Задача 3. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем
4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на
испытание 30 деталей две будут нестандартными.
Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на
качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его
вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим
Распределение числа успехов (появлений события) носит название
биномиального распределения.