Сложение нескольких колебаний одинакового направления (или, что то
же самое, сложение нескольких гармонических функций) значительно
облегчается и становится наглядным, если изображать колебания
графически в виде векторов на плоскости.
Возьмем ось, которую обозначим “x”. Из точки О, взятой на оси, под
углом a, равным начальной фазе колебаний, отложим вектор длины A
(рис. 8.3). Спроектируем вектор A на ось x, получим x0=Acosa –
начальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия.
Приведем этот вектор во вращение против часовой стрелки с угловой
скоростью w0. Положение этого вектора в любые моменты времени будет
характеризоваться углами, равными:
w0t1+a; w0t2+a; w0t3+a; и т.д.
А проекция этого вектора будет перемещаться по оси «x» в пределах
от –А до +А. Причем координата этой проекции будет изменяться со
временем по закону:
.
Следовательно, проекция конца вектора на некоторую произвольную ось
будет совершать гармоническое колебание с амплитудой равной длине
вектора, круговой частотой равной угловой скорости вращения вектора
и начальной фазой равной углу, образованному вектором с осью в
начальный момент времени.
Итак, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора,
длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора
образует с осью “x” угол равный начальной фазе колебания.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового
направления и одинаковой частоты. Смещение колеблющегося тела “x”
будет суммой смещений x1 и x2, которые запишутся следующим
образом:
Представим оба колебания с помощью векторов и (рис. 8.4) По
правилам сложения векторов строим результирующий вектор . Проекция
этого вектора на ось X будет равна сумме проекций слагаемых
векторов: x=x1+x2. Следовательно, вектор представляет собой
результирующее колебание. Этот вектор вращается с той угловой
скоростью w0, что и векторы и , так что результирующее движение
будет гармоническим колебанием с с частотой w0, амплитудой «а» и
начальной фазой a. Из построения следует, что
.
Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов
дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции
сложения векторов. Этот способ отличается большей простотой и
наглядностью, чем использование тригонометрических
преобразований.
Проанализируем выражение для амплитуды. Если разность фаз обоих
колебаний a2 - a1 = 0, то амплитуда результирующего колебания равна
сумме (а2 + а1). Если разность фаз a2 - a1 = +p или -p, т.е.
колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего
колебания равна .
Если частоты колебаний x1 и x2 неодинаковы, векторы и будут
вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий
вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью,
Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не
просто гармоническое колебании, а некоторый сложный колебательный
процесс.