Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
где
- функция Лапласа (функция табулирована).
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо
знать при использовании таблиц значений этих функций:
а) ;
б) при больших верно .
Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем,
чем ближе значения к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких
или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает
большую погрешность (по сравнению с исходной формулой
Бернулли).
Задача 7. Для мастера определенной квалификации вероятность
изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он
изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280
деталей отличного качества.
Решение. По условию , откуда
По таблицам найдем .
Искомая вероятность равна:
Задача 8. В продукции некоторого производства брак составляет 15%.
Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100
штук. Найти вероятности событий:
В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;
С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20.
Решение. Изготовление детали – это испытание, в котором может
появиться событие А – изделие бракованное – с вероятностью .
Находим . Можно применять формулы Лапласа:
Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и
в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.
Задача 9. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые
днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух
городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от
друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью
приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там
одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его
ресторане?
Решение. Будем считать, что событие произошло, если турист пообедал
у заинтересованного владельца. По условию задачи, , . Нас
интересует такое наименьшее число посетителей , что вероятность
одновременного прихода не менее чем туристов из числа с
вероятностью успеха приблизительно равна вероятности переполнения
ресторана, т.е. . Таким образом, нас интересует такое наименьшее
число , что .
Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа. В нашем случае: –
неизвестно, , , .
Тогда
,
.
Используя таблицы для функции , находим, , и, значит, .
Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.