Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.
В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используется знак &. Конъюнкция – двухместная операция; записывается в виде: A&B. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного из операндов ложно.
Так, из приведенных ниже четырех составных высказываний, образованных с помощью операции логического умножения, истинно только четвертое, так как в первых трех составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний ложно:
(1) «2*2=5 и 3*3=10»
(2) «2*2=5 и 3*3=9»
(3) «2*2=4 и 3*3=10»
(4) «2*2=4 и 3*3=9»
При записи на формальном языке алгебры логики составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний: F=A&B
C точки зрения алгебры высказываний мы записали формулу функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменные А и В, которые могут принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов.
Таблица истинности функции логического умножения
| A | B | F=A&B |
ДИЗЪЮНКЦИЯ (Логическое сложение)
Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называются операцией логического сложения или дизъюнкцией.
Операцию логического сложения (дизъюнкцию) принято обозначать либо знаком «v», либо знаком сложения «+». Переменные так же принимают значения истина (1) и ложь (0)
Так, из приведенных ниже четырех составных высказываний, образованных с помощью операции логического сложения ложно только первое, так как в последних трех составных высказываниях хотя бы одно из простых высказываний истинно:
(1) «2*2=5 и 3*3=10»
(2) «2*2=5 и 3*3=9»
(3) «2*2=4 и 3*3=10»
(4) «2*2=4 и 3*3=9»
Таблица истинности функции логического умножения
| A | B | F=AVB |
Инверсия (Логическое отрицание)
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.
Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное - истинным. Соответствует частице НЕ, словосочетанию НЕВЕРНО, ЧТО.
Пусть А=«Два умножить на два равно четырем»- истинное высказывание, тогда высказывание F= «Два умножить на два не равно четырем», образованное с помощью операции логического отрицания,- ложно.
Операцию логического отрицания (инверсию) над логическим высказыванием А в алгебре логики принято обозначать А. Образуем высказывание F, являющееся логическим отрицанием А: F=А.
Истинность такого высказывания задается таблицей истинности функции логического отрицания:
| A | F=А. |
Пример:
А={На улице идет снег}.
А={Неверно, что на улице идет снег}
А={На улице не идет снег}
ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование)
В русском языке этой логической операции соответствует союзы если …, то; когда…, тогда; коль скоро …, то и т.п. Выражение, начинающиеся после союзов если, когда, коль скоро, называются основанием условноговысказывания. Выражение, стоящее после слов то, тогда, называется следствием. В логических формулах операция импликации обозначается знаком «à». Импликация –двухместная операция; записывается так: АàB
Например, высказывание «Если число делится на 10, оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод).
Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вывод.
Таблица истинности логической функции импликация
| A | B | АàB |
Эквивалентность (Логическое равенство)
Языковой аналог – союзы если и только если, тогда и только тогда, когда… Эквивалентность обозначается знаком «<<=>>» или «<=>».
Рассмотрим, например, два высказывания: А= «Компьютер может производить вычисления» и В= «Компьютер включен». Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:
«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».
«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».
Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое ложно:
«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».
«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».
| A | B | А«=»B |
|
!
Задачи и упражнения
I. Логическое умножение (конъюнкция)
Задание №1
Даны высказывания:
а) А:«4*2=8» и В:=«(-52)=25»
б) А:«2*2=5» и В:=«(62)=36»
Образуйте конъюнкцию данных высказываний и определите, истинна она или ложна.
Задание №2
Среди следующих составных высказываний укажите конъюнкции и определите, истинны они или ложны:
а) Число 27 кратно 3 и 9
б) 17<25<23
в) Диагонали любого параллелограмма перпендикулярны и делят друг друга по полам.
г) Данный треугольник равнобедренный или равносторонний
Задание №3
Даны высказывания:
А: «Я купил велосипед»;
В: «Я путешествовал по России»
С: «Я участвовал в соревнованиях по велоспорту»
Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим формулам:
Задание №4
Пользуясь высказываниями А,В и С, заданными в задании №3 запишите с помощью символов логики высказываний следующие высказывания:
1) Я не путешествовал по России
2) Я купил велосипед и участвовал в соревнованиях.
3) Я не путешествовал по России и не купил велосипед
4) Я купил велосипед, но не участвовал в соревнованиях.
5) Неверно, что я участвовал в соревнованиях и путешествовал по России
Задание №5
Докажите, что 
Задание №6
Составьте таблицы истинности для следующих формул: