Вектором (свободным) называют совокупность всех одинаково направленных отрезков, имеющих одинаковую длину. Пусть 
– направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В (рисунок 1). Этот отрезок однозначно определяет некоторый вектор 
. В дальнейшем вектор и направленный отрезок будут отождествляться, а использоваться будет тот из них, который в данном случае удобнее. Итак 
. Длина вектора есть длина соответствующего отрезка и обозначается 
.
1.1.1 Определение. Векторы и 
называются коллинеарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны. Векторы , , 
называются компланарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны одной плоскости.
Два вектора и равны, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Пишут = .
1.1.2 
Определение. Суммой векторов и 
называется вектор, обозначаемый + и равный 
(рисунок 2).
Итак, + 
= 
(правило треугольника).
При решении задач полезно использовать свойства суммы векторов.
1.1.3 + = + , 
, .
1.1.4 + ( + ) = ( + )+ , , , .
1.1.5 Существует единственный нулевой вектор 
, имеющий нулевую длину и такой, что 
, .
1.1.6 Для любого вектора существует единственный противоположный вектор (– ) такой, что 
.
1.1.7 Определение. Произведением вектора на действительное число 
называется вектор (или ), длина которого равна 
, а направление совпадает с направлением , если >0, и противоположно , если <0.
Перечислим свойства произведения вектора на число, которые постоянно используются при решении задач:
1)  ;
| 3)  ;
| 5)  ;
|
2)  ;
| 4)  ;
| для любых  .
|
1.1.8 
Пример. Пусть задан параллелограмм 
, 
– точка пересечения его диагоналей (рисунок 3). Доказать, что
1) 
+ 
= 
; 3) 
+ = .
2) + + = ;
Решение.
1 Известно, что диагонали параллелограмма вточке пересечения делятся пополам. Значит, 
= 
. Поскольку векторы и 
противоположно направлены, то =− , т.е. + = .
2 По определению суммы векторов + = . С другой стороны =− , поэтому + + = .
3 На векторах и , как на сторонах, построим параллелограмм 
(см. рисунок 3). Тогда = 
, + = + = 
. Обратимся к четырехугольнику 
. Это параллелограмм, т.к. 
, и поэтому = . Теперь очевидно, что + = .
Линейная зависимость и независимость векторов
1.2.1 Определение. Векторы 
, 
, …, 
называются линейно зависимыми, если существуют числа 
, 
, …, 
, не равные одновременно нулю, для которых выполняется равенство
+ + … + = . (1)
Если же равенство (1) выполняется только для 
, 
, …, 
, то векторы , , …, называются линейно независимыми.
Основной признак, которым полезно пользоваться при установлении линейной зависимости (независимости) векторов, заключается в следующем.
1.2.2 Теорема. Векторы , , …, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.
1.2.3 Пример. Пусть и – ненулевые векторы. Тогда следующие условия равносильны.
Векторы и линейно зависимы. 
. 
.
Доказательство проведем по схеме 
.
. Если и 
линейно зависимы, то существуют числа и 
, такие, что 
. Так как и – ненулевые векторы, то в этом равенстве 
и 
и из него получим , где 
.
. Из равенства и условия 
следует, что 
.
. Пусть . Умножим вектор на число 
, если и одинаково направлены, и на 
, если и направлены противоположно. Тогда векторы и 
, имеющие одинаковые длины, равны, т.е. 
, что означает линейную зависимость векторов и .
Таким образом, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. То же самое можно сказать о любых трех компланарных векторах.
Упражнения
1.3.1 Построить векторы + и – , если:
| 
| 
| 
|
1.3.2 Проверить геометрически справедливость следующих равенств:
1) ( + )+( – )=2 ; 3) 
+ 
= ( + )/2;
2) ( + )– ( – )=2 ; 4) ( – )/2+ = ( + )/2.
1.3.3 Найти условия, которым должны удовлетворять векторы и , если:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
1.3.4 Пусть 
– произвольный треугольник, К, L, М – середины сторон 
, 
, 
соответственно, – точка пересечения медиан этого треугольника. Доказать, что
1) = 
+ ; 3) + 
+ 
= ;
2) + + = ; 4) 
+ 
+ 
= .
1.3.5 Дан параллелограмм . Пусть = 
, 
= 
. Выразить векторы , , 
, 
через векторы , .
1.3.6 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы один из них нулевой.
1.3.7 Доказать, что если некоторое непустое подмножество векторов из множества , , …, линейно зависимо, то и все векторы в целом линейно зависимы.
1.3.8 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если среди них есть хотя бы два противоположных вектора.
1.3.9 Доказать, что если векторы , , …, линейно независимы, то любое непустое подмножество из них также линейно независимо.
1.4 Контрольные задания
Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §1], [2, гл. 2, §§2.1–2.4], [3, гл. I, §1.3].
1.4.1 Выбрать два произвольных неколлинеарных вектора , и построить вектор 
, где
1) =1, 
=1; 2) = –1, =1; 3) = –1, = –1; 4) = – 
, =3.
1.4.2 Пусть – параллелограмм, – точка пересечения его диагоналей АС и BD. Доказать, что
1) = ; 3) + 
= 
;
2) − + = ; 4) – = 
;
5) 
коллинеарен 
, где =2 –3 , = 
– .
1.4.3 Пусть – произвольный четырехугольник, 
и 
– середины сторон AB и CD соответственно. Доказать, что 
.
1.4.4 Пусть 
– треугольник, М - точка пересечения его медиан, О – произвольная точка, = , = , = 
. Выразить вектор через векторы , , .
1.4.5 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы два на них равны.