Потенциальное поле ямы имеет вид при , при и при (рис.1.8, а).
Частица, которая находится в такой яме с энергией , будет все время
с ней связана.
Решение стационарного уравнения Шредингера имеет вид
(1.143)
где (1.144)
а
б
Рис.2.8. Потенциальная яма конечной глубины (а) и
графоаналитическое решение дисперсионного уравнения (б)
Воспользовавшись условиями
, (1.145)
получим уравнение
. (1.146)
Преобразуем (1.146) в уравнение более удобное для анализа:
.
Обозначим и с учетом , получим
. (1.147)
В качестве решения берем не все точки пересечения синусоиды с
прямыми, а только те, знак которых согласуется со знаком первичного
уравнения (1.146). Этим значением отвечает конечное число
собственных значений энергии
. (1.148)
Если яма мелкая или достаточно узкая, то может случиться, что
решение уравнения (1.146) отсутствует, то есть частица не может
удержаться внутри ямы.
В классической механике частица с энергией не может выйти за
пределы ямы. В квантовой механике существует вероятность найти
частицу за пределами ямы, если даже . Как пример, на рис.1.9
показаны волновая функция и распределение плотности вероятности для
основного и возбужденного состояний электрона в потенциальной яме
конечной глубины.
а
б
Рис.1.9. Волновая функция и распределение плотности вероятности для
основного (а) (~7еВ) и возбужденного (б) (~27еВ) состояний
электрона в потенциальной яме (а=0,2 нм, U0=40 эВ).