Сделаем предварительно замечание: непрерывность производной от
волновой функции не имеет места, если за некоторой поверхностью
потенциальная энергия обращается в бесконечность. В эту область
частица не может проникнуть, то есть на границе .
Потенциальное поле при и при называется бесконечно глубокой
потенциальной ямой (рис.1.5). Частица, которая находится в такой
яме, будет все время с ней связана. Движение частицы в пространстве
ограничивается областью ямы и за ее пределы частица выйти не может,
то есть на границах ямы
. (1.109)
Отражение от стенок ямы приводит к периодичности движения частицы
во времени, что в свою очередь приводит к наложению условий
квантования на импульс и энергию частицы. Определим волновые
функции (возможные квантовые состояния) и энергетический спектр
частицы. Для этого решим уравнение Шредингера (1.48) при
соответствующих граничных условиях (1.109):
. (1.110)
Решение запишем в виде
. (1.111)
Используя (1.109) на границе , получим , и, следовательно,
. (1.112)
Применяя граничное условие (1.109) при , получим
. (1.113)
Число называется квантовым числом.
Коэффициент определим из условия нормировки (1.6):
. (1.114)
Таким образом, решение возможно не для любых значений , а только
для вполне определенных, которые связаны с собственными значениями
энергии соотношением
. (1.115)
Этим значениям отвечает собственная волновая функция
. (1.116)
Энергетический спектр частицы в потенциальной яме является
дискретным. Состояние с наименьшей энергией () называют основным,
все другие – возбужденными.
Расстояние между соседними энергетическими уровнями в абсолютных
единицах растет с увеличением квантового числа
, (1.117)
но относительное расстояние между уровнями уменьшается
. (1.118)
Для ямы макроскопических размеров (например, см) дискретность даже
для электронов будет проявляться слабо
эВ.
Уровни располагаются вблизи друг друга и образуют квазинепрерывную
полосу. Дискретная природа спектра электрона проявляется только для
ямы атомного размера. Например, для ямы с нм расстояние между
соседними уровнями
эВ.
Волновые функции частицы в потенциальной яме представляют собой
стоячие волны. Как легко убедиться, все функции взаимно
ортогональны. Распределение плотности вероятности положения частицы
в яме определяется выражением
. (1.119)
Соответствующие кривые для некоторых состояний приведены на
рис.1.5.
Рассмотрим трехмерный случай. Потенциальная яма имеет вид
прямоугольного параллелепипеда со сторонами . Потенциальная энергия
внутри ящика равняется нулю, а вне – обращается в бесконечность
(непроницаемые стенки).
Компоненты поступательного движения частицы вдоль координатных осей
независимы. Поэтому решение можно искать в виде функции с
разделяющимися переменными
, (1.120)
что отвечает вероятности сложного события. Подставив (1.120) в
(1.48) и выполнив соответствующие преобразования, получим
, (1.121)
где
.
Левая часть (1.121) разделилась на три независимых слагаемых, а
правая часть является постоянной. Это возможно в том случае, когда
каждое из слагаемых в левой части постоянно. Таким образом,
исходное уравнение распадается на три независимых уравнения.
Воспользовавшись полученным ранее решением (1.116), запишем для
потенциального ящика
. (1.122)
Возможные значения энергии частицы определяются выражением
, (1.123)
где – целые числа.
Если ящик кубической формы (), то
. (1.124)
а
б
в
г
Рис.1.5 Бесконечно глубокая потенциальная яма (а), волновые функции
(б) и распределение густоты вероятности (в, г)
Из (1.124) видно, что для возбужденных состояний (когда хотя бы
одно из возможных значений квантовых чисел больше единицы) одному и
тому же значению энергии отвечают различные волновые функции.
Например, для это будут . Следовательно, такие состояния являются
вырожденными. Число состояний, которые имеют одинаковые значения
энергии, определяет кратность вырождения.