Для описания вращательного движения потребуется ещё одна величина ,
называемая моментом импульса.
Сначала определим момент импульса материальной точки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Момент импульса материальной точки вводится аналогично
моменту силы. Момент импульса относительно точки О называется
векторная величина, определяемая выражением: ,
где – радиус-вектор, проведенный из точки “O” в ту точку
пространства, в которой находится материальная точка, . Вводя плечо
l = r·sina, модуль вектора можно записать в виде (рис. 4.11). – это
векторная величина (псевдовектор). Вектор направлен по оси вращения
в ту сторону, куда перемещается острие буравчика при вращении
рукоятки буравчика по направлению вращения тела. Если рассматривать
как векторное произведение и , то направление вектора будет
перпендикулярно плоскости, где лежат вектора и . L – численно равен
площади параллелограмма, построенного на r и mv (рис. 4.12).
Выясним, чем определяется изменением момента импульса со временем.
Продифференцируем выражение по времени “t”. Получим
;
Первое слагаемое равно «0», т.к. представляет векторное
произведение векторов одинакового направления. В самом деле и
следовательно совпадает с вектором по направлению. Во втором
слагаемом вектор – действующая на тело сила (по II-закону Ньютона).
Следовательно,
, (4.1)
где – момент приложенных к материальной точке сил, взятый
относительно той же точки «О», относительно которой берется момент
импульса .
Отсюда следует формулировка закона сохранения момента импульса.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если результирующий момент действующих на материальную
точку сил относительно какой-либо точки «О» равен нулю, то момент
импульса материальной точки, взятый относительно той же точки «О»
будет оставаться постоянным.
Если сравнивать выражение с выражением II закона Ньютона , то
видно, что для вращательного движения используется вместо силы
момент силы , а вместо импульса момент импульса .
Скалярное выражение для момента силы можно получить более просто.
Нормальная составляющая силы не влияет на величину скорости и
уравновешивается силой реакции связи рис. 4.13. Тангенциальная
составляющая силы Ft изменяет v, тогда по II закону Ньютона
; ; .
Следовательно, .
Умножая обе части уравнения на r, получим
Вводя величину , получаем, что
. (4.2)
Формула для момента силы справедлива не только для материальной
точки, но и для любого тела, если его рассматривать как
совокупность материальных точек.
Рассмотрим систему из N материальных точек. Разобьем силы на
внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил,
действующих на i-ую материальную точку, обозначим , а
результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку .
Тогда для i-ой материальной точки можно записать
,
где i=1, 2, 3,…, N
Сложим эти уравнения
.
Величина называется моментом импульса системы материальных
точек.
Первая сумма – сумма моментов внутренних сил равна «0».
ПОЯСНЕНИЕ: Рассмотрим две любые элементарные массы Dm1 и Dm2. Силы,
с которыми они взаимодействуют, лежат на одной прямой (рис. 4.14).
Их моменты относительно произвольной точки “O” равны по величине и
противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил
попарно уравновешивают друг друга и сумма моментов всех внутренних
сил для любой системы материальных точек, в частности для твердого
тела, всегда равна нулю. Это утверждение справедливо как для
суммарного момента всех внутренних сил, взятого относительно любой
точки, так и для суммарного момента этих сил, взятого относительно
любой оси.
Вторая сумма – суммарный момент внешних сил равен , т.е. .
Тогда (здесь и относятся к системе материальных точек).
Для замкнутой системы материальных точек , вследствие чего
суммарный момент импульса не зависит от времени.
ЛЕКЦИЯ 6