| следующая статья ==>
Наряду с динамическими переменными, зависимость которых от времени
составляет сущность колебательного процесса, при рассмотрении
колебательных систем приходится иметь дело также с параметрами,
постоянными во времени, но, от задания которых, может зависеть
характер реализующегося в системе режима.
Например, качественные изменения колебательных режимов, возникающие
при медленном изменении параметров системы, могут приводить к
появлению, так называемых бифуркаций. Одной из распространенных
проявлений бифуркаций и является возбуждение автоколебаний в
нелинейных системах при переходе параметра через критическое,
бифуркационное значение амплитуды, например, при плавном увеличении
коэффициента усиления колебаний.
Чтобы познакомиться с дальнейшими примерами бифуркаций, обратимся к
одной из самых простых колебательных систем, представленной шариком
в лунке рис. 14.3.
Рис. 14.3 Шарик в лунке в случае одного (а) и нескольких (б)
устойчивых положений равновесия.
В присутствии трения шарик будет совершать колебания вблизи точки
минимума, приходя, в конце концов, в состояние устойчивого
равновесия. Можно рассмотреть и более сложный случай и
предположить, что профиль лунки имеет более одного минимума, то
есть содержит несколько лунок, соответственно увеличится и число
устойчивых состояний такой колебательной системы. В зависимости от
того, какой была исходная координата и скорость шарика, он попадет
в итоге в одну из лунок. В данном случае мы будем иметь дело с
колебательной системой, имеющей несколько аттракторов, в качестве
которых в данном случае выступают состояния устойчивого
равновесия.
Если какая-нибудь колебательная система характеризуется наличием
нескольких потенциально возможных установившихся состояний или
колебательных режимов, то говорят, что имеет место
мультистабильность.
В линейной системе мультистабильность невозможна. В частности, в
данном примере с шариком наличие у профиля нескольких ямок с
очевидностью требует, чтобы зависимость возвращающей силы от
координаты частицы была нелинейной.
Предположим теперь, что форму профиля можно регулировать, изменяя
параметры системы, так, что в процессе этой деформации могут
появляться или пропадать локальные минимумы.
Одно из интересных явлений будет наблюдаться в ситуации, когда
ямка, в которой располагается шарик, сближается с локальным
максимумом и исчезает. Это бифуркация слияния устойчивого и
неустойчивого состояний равновесия. После бифуркации локальный
максимум исчезает, и система должна скачком перейти в новое
состояние, достаточно удаленное от исходного. Говоря о скачке, мы
имеем в виду, что координата частицы претерпит существенное
изменение в итоге процесса перехода в новое состояние. Что касается
развития этого процесса во времени, то на начальной стадии он будет
достаточно медленным, так как локально профиль в области нахождения
частицы практически плоский.
Рис. 14.4 Скачкообразное изменение состояния равновесия системы
«шарик в лунке» при медленном изменении ее профиля.
Рис. иллюстрируют как изменяется состояние системы «шарик в лунке»
при медленном изменении формы потенциального рельефа. При таком
скачкообразном изменении состояния системы говорят о жесткой
бифуркации или катастрофе.
Рис. 14.5 Изменение потенциального рельефа, соответствующее двум
траекториям движения по плоскости параметров, приводящим к
реализации двух различных состояний устойчивого равновесия.
В зависимости от того, как выбран путь на плоскости параметров при
их медленном изменении, можно прийти в одну и ту же точку области
бистабильности, имея результатом разные состояния равновесия.
| следующая статья ==>