С учетом изложенного выше можно рекомендовать следующую схему исследования функции и построения ее графика.
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на четность и нечетность;
3) исследовать функцию на периодичность;
4) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;
5) найти критические точки первого рода;
6) найти интервалы монотонности и экстремумы функции;
7) найти критические точки второго рода;
8) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;
9) найти асимптоты графика функции;
10) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);
11) построить график функции.
Пример 1. Построить график функции
.
r1) Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = – 2 и x = 2.
2) Функция нечетна, так как
3) Функция непериодическая.
4) Функция непрерывна во все области ее определения. Точки x = – 2 и x = 2 являются точками разрыва.
5) Находим
.
Очевидно, что при и . Кроме того не существует при . Следовательно, имеет следующие критические точки первого рода:
6) Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (рис. 119). Следовательно, функция f(x) в интервалах и возрастает, а в интервалах убывает.
|
В точке функция имеет максимум, а точке — минимум. Так как при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке экстремума нет. Имеем:
и
x | –2 | ||||||||||
f(x) | – | – | + | – | + | + | |||||
f¢(x) | + | – | – | – | – | + | |||||
f¢¢(x) | – | – | – | + | – | + | + | ||||
Выводы | т.м. | т.р. | т.п. | т.р. | т.м. |
7) Находим .
Так как при и не существует при , то б и являются критическими точками второго рода.
8) Определяем знак второй производной и каждом из интервалов и (рис. 120).
Мы видим, что интервалах и график функции обращен выпуклостью вверх, а в интервалах и — выпуклость вниз. Вторая производная меняет знак в каждой из критических точек второго рода, однако точки не принадлежат области определения функции и поэтому лишь точка является точкой перегиба с горизонтальной касательной (так как ).
Имеем , следовательно, точкой перегиба является начало координат.
9) Так как и
то и являются вертикальными асимптотами. Далее, находим
,
Следовательно, является наклонной асимптотой.
Результаты исследования заносим в табл. 6. По полученным данным строим график функции (рис.121).
Первая производная пути по времени дает уравнение скорости движения тела, S't — V, а вторая производная St" — а — ускорения. Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.
Пример 1.
Найти f (x).
Решение. Выполним деление на х почленно: f(x) - х - х -1/2 + Sinx
Применим теорему о производной алгебраической суммы:
Пример 2. Найти у'.
Решение, у' = (x3)'Cosx + x3(cosx)' = 3x2Cosx + x3(–Sinx) = x2(3Cosx – xSinx)
Пример 3. у = (Зх – 6x2 + 8)10. Найти у'.
Решение, у' = 10(Зx - 6х2 + 8)9 • (3x - 6х2 + 8)' = 10(Зx - 6ж2 + 8)9 • (3 - 12х)
Пример 4. У – Sin2x/tg2x. Найти y’
Решение
Пример 5. Построить график функции у = х3 — 6х2 + 9х — 3
Решение.
1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. Д(у) — R
2. Исследуем функцию на четность и нечетность.
Имеем у(-х) = (-x)3 - 6(-x)2 + 9(-x) - 3 = -x3 - 6x2 - 9х - 3 Функция не является ни четной, ни нечетной.
3.Функция не является периодической.
4.Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Чтобы найти точки пересечения с осью Оу, положим x = 0, тогда у =-3. Точки пересечения с осью Ох в данном случае найти затруднительно, т.к. при у — 0 x3 — 6x2 4- 9x — 3 = 0.
5.Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Имеем: у' — Зx2 — 12x + 9; 3x2 — 12x + 9 = 0. Отсюда получаем критические точки x1 = 1, x2 = 3. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы:
— <x<1; 1<x<З и 3<x< . Исследуем знак у' в каждом из интервалов. В интервалах - <x <1иЗ<x< , у’>0, т.е. функция возрастает, а в интервале 1< x<3, у’< 0, т.е. функция убывает. При переходе через точку x =1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку x = 3 — с минуса на плюс. Значит, Уmах = y(1) = 1, Уmiп = y(3) = -3.
6. Найдем интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба. Имеем: у" = 6х - 12, 6х - 12 = 0, х = 2. Точка х = 2 делит область определения функции на два интервала: - < х < 2 и 2 < х < . В первом из них у" < 0, а во втором у" > 0, т.е. в интервале- < х < 2 кривая выпукла вверх, а в интервале 2 < x < выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2; — 1).
6.Используя полученные данные, строим искомый график (рис.1).
Рис. 1.
VI. Неопределенный интеграл
Перед изучением темы необходимо повторить формулы дифференцирования функций. Основная задача интегрального исчисления обратна основной задаче дифференциального исчисления и формулируется так: дана функция f(x), требуется найти такую функцию F(x), чтобы dF(x) = f(x)dx, т.е. F'(x) = f(x)
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x). F(x) + С, где С — произвольная постоянная, представляет совокупность всех первообразных для функции f(x) и называется неопределенным интегралом. Обозначается:
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3. Найти
Решение.Применим подстановку , где z — новая переменная. Возведем обе части в квадрат: 1 + 2х2 = z2. Продифференцируем обе части равенства: 4xdx = 2zdz, xdx — z/2dz
Интеграл имеет вид:
Выполним замену , получим
Пример 4. Найти
Решение.Cosxdxесть дифференциал функции Sinx, Cosxdx = dSinx. Поэтому =
Пример 5. Найти
Решение.Положим и — lnx, dv = dx/x2, тогда du = dx/x, dv = dx/x2 - x-2dx - (-l)x-1 = -1/x; v = -1/x
По формуле udv = uv — vdu, получим:
VII. Определенный интеграл
Вычисление определенного интеграла непосредственным переходом к пределу интегральной суммы является операцией довольно трудной и не всегда выполняемой. Формула Ньютона-Лейбница дает возможность вычислить определенный интеграл с помощью неопределенного.
Все методы интегрирования, рассматриваемые при изучении неопределенного интеграла, используются и при вычислении определенного интеграла.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3
.
Решение. Предположим, , тогда x2 + 1 = t2; 2xdx = 2tdt; xdx = tdt; tH =1, tB = .
Определенный интеграл был вычислен способом подстановки, т.е. с помощью замены переменной. Обратите внимание на вычисление новых пределов интегрирования.
Пример 4- Вычислить
Решение.Положим и = lnx; dv = xdx, тогда du = dx/x; v =x2/2.
Следовательно:
Определенный интеграл был вычислен с применением формулы интегрирования по частям, которая имеет вид:
Интегральное исчисление дает общий прием для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения, работы, силы и др. Решим ряд задач.
Рис. 2
Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, х = -1; x = 3; у=0
Решение.Сделаем чертеж (рис. 2)
Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = Sinx; х = — ; х = 0; у = 0
Решение. Сделаем чертеж (рис. 3). Вычислим интеграл:
ед2, или
Рис. 3
Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = 4x; у = х
Решение. Сделаем чертеж (рис. 4). Вычислим пределы интегрирования, для чего решаем систему уравнений относительно х:
Рис. 4
Задача 4- Сила в 8H растягивает пружину на 6см. Какую работу она производит?
Решение.По закону Гука F — хк,
где х — величина растяжения (сжатия), к — коэффициент пропорциональности.
Задача 5. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V — 6t2 + 2t (м/с), второе - со скоростью V = 42 + 5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?
Решение. Очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5с.
S1 - S2 = 275 - 75 = 200(m)