Общие исследование функции y = f(x).
- Область определения функции. Найти ее область определения D(f) . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений E(f) . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения E(f) откладывается до нахождения экстремумов функции.)
- Особые свойства функции.Выяснить общие свойства функции: четность, нечетность, периодичность и т.п. Не любая функция обладает такими свойствами, как четность либо нечетность. Функция заведомо не является ни четной, ни нечетной, если ее область определения несимметрична относительно точки 0 на оси Ox. Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.
- Вертикальные асимптоты.Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определенияD(f), если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она не определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.
- Наклонные и горизонтальные асимптоты. Если область определения D(f) вклоючает в себя лучи вида (a;+ ) или (− ;b), то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при x + или x − соответственно, т.е. найтиlimx f(x). Наклонные асимптоты: y = kx + b, где k=limx + xf(x) и b=limx + (f(x)−x). Горизонтальны асимптоты: y = b, гдеlimx f(x)=b.
- Нахождение точек пересечения графика с осями. Нахождение точки пересечения графика с осью Oy. Для этого нужно вычислить значение f(0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox, для чего найти корни уравнения f(x) = 0 (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удается решить лишь приближунно, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.
- Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.
Понятие функции многих переменных. Частные и производные. Полный дифференциал.
В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).
Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.
Полный дифференциал
функции f(x, у, z,...) нескольких независимых переменных — выражение
в случае, когда оно отличается от полного приращения
Δf=f(x+Δx, y+Δy, z+Δz,…)- f(x, y, z, …)
на величину, бесконечно малую по сравнению с
Локальный экстремум. Условия существования.
Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
Определения
Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения Тогда
· называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
· называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
· называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
· называется точкой абсолютного минимума, если
Значение функции называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.