Совокупность единиц, из которых производится отбор, принято называть генеральной совокупностью. Совокупность отобранных единиц из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью.
N - объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц);
n - объем выборочной совокупности (число единиц, попавших в выборку);
х - генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности);
х - выборочная средняя (среднее значение признака в выборочной совокупности);
р - генеральная доля (доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности);
w - выборочная доля (доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности);
2 - генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной совокупности);
S2 - выборочная дисперсия (дисперсия признака в выборочной совокупности);
- среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности;
S - среднее квадратическое отклонение признака в выборочной совокупности.
Простая случайная выборка
При простой случайной выборке отбор единиц в выборочную совокупность производится непосредственно из всей массы единиц генеральной совокупности в форме случайного отбора, при котором каждой единице генеральной совокупности обеспечивается одинаковая вероятность (возможность) быть выбранной. Единица отбора совпадает с единицей наблюдения. Случайный отбор осуществляется путем применения жеребьевки (лотереи) или путем использования таблиц случайных чисел.
Случайный отбор может быть проведен в двух формах: в форме возвратной (повторной) выборки и в форме безвозвратной (бесповторной) выборки. При повторном отборе вероятность попадания каждой единицы генеральной совокупности остается постоянной, так как после отбора какой-то единицы она снова может быть выбранной. При бесповторном отборе выбранная единица не возвращается в генеральную совокупность и вероятность попадания отдельных единиц в выборку все время изменяется (для оставшихся единиц она возрастает).
Применение простой случайной повторной выборки на практике весьма ограниченно; обычно используется бесповторная выборка.
В табл. 5.1 приведены формулы расчета ошибок простой случайной выборки.
Формулы предельной ошибки позволяют решать задачи трех видов:
1. Определение пределов генеральных характеристик с заданной степенью надежности (доверительной вероятностью) на основе показателей, полученных по данным выборки. Доверительные интервалы для генеральной средней:
;
;
Доверительные интервалы для генеральной доли:
2. Определение доверительной вероятности того, что генеральная характеристика может отличаться от выборочной не более чем на определенную заданную величину.
Доверительная вероятность является функцией от t, определяемой по формуле
.
По величине t определяется доверительная вероятность.
3. Определение необходимого объема выборки, который с практической вероятностью обеспечивает заданную точность выборки.
Таблица 5.1
Формулы ошибок простой случайной выборки
| Способ отбора единиц | ||
| повторный | бесповторный | |
Средняя ошибка  :
для средней
| 
| 
|
| для доли | 
| 
|
Предельная ошибка 
для средней
| 
| 
|
| для доли | 
| 
|
В табл. 5.2 приведены формулы для расчета численности простой случайной выборки.
Таблица 5.2
Формулы для определения численности простой случайной выборки
| Способ отбора единиц | ||
| повторный | бесповторный | |
| Численность выборки (n): для средней | 
| 
|
| для доли* | 
| 
|
| * В случаях, когда частость w даже приблизительно неизвестна, в расчет вводят максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25 (если w=0,5, то w(1-w)=0,25) |
Решение типовых задач
1. Из партии электроламп взята 20%-ная случайная бесповторная выборка для определения среднего веса спирали. Результаты выборки следующие:
| Вес, мг | 38-40 | 40-42 | 42-44 | 44-46 |
| Число спиралей |
Определить с вероятностью 0,95 доверительные пределы, в которых лежит средний вес спирали, для всей партии электроламп.
Решение
Доверительные интервалы для генеральной средней с вероятностью Р:
,
где 
- средний уровень признака по выборке.
;
При вероятности P = 0,95 t = 1,96 (по таблице).
Доверительные интервалы для генеральной средней с вероятностью
Р = 0,95:
2. На заводе электроламп из партии продукции в количестве 16000 шт. ламп взято на выборку 1600 шт. (случайный, бесповторный отбор), из которых 40 шт. оказались бракованными.
Определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых будет находиться процент брака для всей продукции
Решение
Определяется доля бракованной продукции по выборке:
При вероятности Р = 0,997 t = 3,0.
Размер предельной ошибки
Доверительные интервалы для генеральной доли с вероятностью Р = 0,997
5. ИНДЕКСЫ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
Индекс - относительная величина, характеризующая изменение уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с планом. Сложный показатель состоит из непосредственно несоизмеримых (несуммируемых) элементов. Например, предприятие выпускает несколько видов продукции, но получить общий итог объема продукции путем суммирования количества различных ее видов в натуральном выражении нельзя.
Индексные показатели вычисляются на высшей ступени статистического обобщения и опираются на результаты сводки и обработки данных статистического наблюдения. С их помощью решаются следующие основные задачи:
- характеристика общего изменения сложного экономического показателя и отдельных его элементов;
- измерение влияния факторов на общую динамику сложного показателя, включая характеристику влияния изменения структуры явления.
Индекс является результатом сравнения двух одноименных показателей, поэтому при их вычислении различают сравниваемый уровень (числитель индексного отношения), называемый текущим илиотчетным, и уровень, с которым производится сравнение (знаменатель индексного отношения), называемый базисным. Выбор базы определяется целью исследования.
При территориальных сравнениях за базу принимают данные другой территории.
При использовании индексов как показателей выполнения плана за базу сравнения принимаются плановые показатели.
В зависимости от содержания и характера изучаемых социально-экономических показателей различают индексы количественных (объемных) показателей и индексы качественных показателей.
К индексам количественных (объемных) показателей относятся индексы физического объема производства продукции, физического объема потребления продукции (производственного и личного) и индексы других показателей, размеры которых характеризуются абсолютными величинами.
К индексам качественных показателей относятся индексы цен, себестоимости, индексы средней заработной платы, производительности труда. Качественный показатель характеризует уровень изучаемого результативного показателя в расчете на количественную единицу и определяется путем деления результативного показателя на количественный показатель, на единицу которого он определяется. Например, средняя заработная плата определяется путем деления фонда заработной платы на численность работников; производительность труда определяется путем деления общего объема выработанной продукции на численность работников.
По степени охвата элементов совокупности различают индивидуальные и сводные (общие) индексы.Индивидуальные индексы характеризуют изменение одного элемента совокупности. Сводные индексы характеризуют изменение сложного явления в целом. В зависимости от способа исчисления общих (сводных) индексов различаются агрегатные индексы и средние взвешенные индексы.
Для удобства применения индексного метода, составления формул индексов и их использования в статистико-экономическом анализе в теории статистики разработана определенная символика и применяются соответствующие условные обозначения.
Каждая индексируемая величина имеет свое символическое обозначение:
q - количество продукции одного вида в натуральном выражении;
р - цена за единицу продукции;
z - себестоимость единицы продукции;
t - затраты труда (рабочего времени) на единицу продукции.
Индексы по отдельным элементам изучаемого сложного экономического явления (т.е. индивидуальные индексы) обозначаются символом i, у которого проставляется символ соответствующей индексируемой величины. Например:
iq - индивидуальный индекс объема (количества) отдельного вида продукции;
ip - индивидуальный индекс цен на отдельный вид продукции (товара);
iz - индивидуальный индекс себестоимости единицы отдельного вида продукции;
iqp- индекс стоимости отдельного вида продукции;
iqz - индекс денежных затрат на выпуск одного вида продукции;
iqt - индекс затрат труда на выпуск (производство) одного вида продукции.
Общий (сводный) индекс изучаемого сложного экономического явления обозначается символом I, у которого отражается символ индексируемой величины. Например:
Iq - общий индекс физического объема продукции;
Ip - общий индекс цен;
Iz - общий индекс себестоимости;
Iqp - общий индекс стоимости всех видов продукции;
Iqz - общий индекс затрат на производство всех видов продукции;
Iqt- общий индекс затрат труда на выпуск всех видов продукции.
Для отражения базисных периодов времени применяются специальные обозначения, которые пишутся внизу символа используемых при написании индекса величин. Базисный период, с данными которого производится сравнение, обозначается нулевым значением, первый отчетный период - единицей и т.д. Кроме того, обозначения сравниваемого и базисного периодов можно проставлять внизу символа индекса (например, Iq1/0).