Lektsia - бесплатные рефераты, доклады, курсовые работы, контрольные и дипломы для студентов » Решение дифференциального уравнения 1-го порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка представляется в виде выражения

y¢=f(x,y),

где y¢ - производная 1-го порядка, y – неизвестная функция, зависящая от переменной х.

Для решения дифференциального уравнения его необходимо представить в более удобной форме, в виде:

y¢ - f(x,y) = 0

В MathCad нет средств символьного решения дифференциальных уравнений, но достаточно хорошо представлены способы численного решения. Например, функция rkfixed позволяет находить приближенное численное решение дифференциального уравнения n-го порядка методом Рунге-Кута четвертого порядка при заданных начальных условиях.

Решением уравнения будет матрица Y, состоящая из 2-х столбцов. Элементами 1-го столбца будут найденные значения х, а элементами 2-го столбца – найденные значения y.

АЛГОРИТМ

1. Присвоить переменной ORIGIN значение 1.

2. Задать начальное значение переменной y в матричном виде. Для этого необходимо на панели Матрица, нажать на кнопку Матрица или вектор и ввести матрицу размерностью: 1 столбец, 1 строка.

Примечание

При вводе матрицы необходимо в окне Вставить матрицу вместо Строк, задать необходимое число строк, а вместо Колонок – число столбцов. Затем нажать на кнопку Вставить.
После появления шаблона матрицы, нажать на кнопку Close.
В шаблоне матрицы, вместо маркеров ввести значения элементов.

3. Описать выражение дифференциального уравнения в виде функции f(x,y).

4. Для нахождения массива решений уравнения y1, вызвать функцию rkfixed в виде:

y1:=rkfixed(имя переменной y,начальное значение х, конечное значение х, число шагов, имя функции f)

5. Получить таблицу решений:

y1=

где 1-ый столбец – значения переменной х

2-ой столбец – значения функции y

Примечание

Если известно точное аналитическое решение дифференциального уравнения, то можно описать функцию точного решения дифференциального уравнения yt(x).

6. Построить график функции y1 (и если описана функция yt(x) то можно построить ее график).

Примечание

Причем аргументом функции y1 решений дифференциального уравнения является 1-ый столбец матрицы y1, а значениями являются элементы 2-го столбца. Для ввода в поле графика аргумента функции y1, необходимо на панели Матрица, выбрать кнопку Колонка матрицы. В появившемся шаблоне, в верхнем индексе поставить значение 1, и ввести имя матрицы y1. Аналогичные действия необходимо выполнить для ввода значений функции y1, только в появившемся шаблоне в верхнем индексе необходимо указать значение 2.

ПРИМЕР 6.

С использованием MathCad найти решения дифференциального уравнения 1-го порядка:

если x изменяется от 0 до 4. Начальное значение y=1, а функция точного решения имеет вид: y_т=(x+1)e^-^x.

РЕШЕНИЕ:

ФРАГМЕНТ РАБОЧЕГО ДОКУМЕНТА MATHCAD

Решение дифференциальных уравнений n-го порядка

Порядок дифференциального уравнения определяется порядком производной. Решение дифференциального уравнения n-го порядка сводится к решению системы n дифференциальных уравнений первого порядка.

АЛГОРИТМ

1. Переменной ORIGIN присвоить значение 1.

2. Задать начальные значения функции и производной, в виде матрицы y, состоящей из n строк и 1 столбца.

3. Описать систему дифференциальных уравнений в виде матрицы f(x,y) состоящей из n строк и 1 столбца. Элементы матрицы получены в ходе подстановок:

Y"y₁ Y`"y₂ Yⁿ`"y_n₊₁

4. Для нахождения массива решений уравнения rd, вызвать функцию rkfixed в виде:

rd:=rkfixed(имя переменной y,начальное значение х, конечное значение х, число шагов, имя функции f)

5. Получить таблицу решений:

rd=

где 1-ый столбец – значения переменной х

2-ой столбец – значения функции y

3-ий столбец – значения первой производной функции y

4-ый столбец – значения второй производной функции y

n+1-ый столбец – значения n-ой производной функции y

Примечание

Если известно точное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, то можно описать функцию точного решения системы дифференциальных уравнений yt(x).

6. Построить график функции rd (и если описана функция yt(x) то можно построить ее график).

ПРИМЕР 7.

С использованием MathCad найти решения дифференциального уравнения 2-го порядка:

если x изменяется от 1 до 10. Начальные значения функции y=2 и производной y`=3.5, функция точного решения имеет вид: .

РЕШЕНИЕ:

ФРАГМЕНТ РАБОЧЕГО ДОКУМЕНТА MATHCAD