Решение
Перейдем от общих уравнений прямых в аффинных координатах к общим уравнениям этих прямых в однородных координатах (см. задачу 3 из практического занятия 5). После этого воспользуемся решением предыдущей задачи.
Обратить внимание на двойственность понятий двойное отношение четырех точек на проективной прямой и двойное отношение четырех прямых пучка на проективной плоскости.
Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости.Второе занятие.
Список необходимых сведений.Гармонические четверки точек и прямых. Теорема Дезарга.
Практические задания
Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.
Решение
Напомним, что точки прямой (прямые пучка) находятся в гармоническом отношении, если 
. Далее решения задач из практического занятия 6 повторяются дословно.
Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.
Решение см., например, в [4 , с. 44].
Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда
а) центр и ось перспективы являются бесконечно удаленными элементами пополненной плоскости,
б) центр перспективы является бесконечно удаленной точкой пополненной плоскости, а ось перспективы – обыкновенной прямой этой плоскости,
в) ось перспективы является бесконечно удаленной прямой пополненной плоскости, а центр перспективы – обыкновенной точкой этой плоскости.
Сформулировать соответствующие теоремы аффинной геометрии.
Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
Множество таких задач содержится в углубленном курсе элементарной геометрии. См., например, [19].
Обратить внимание на двойственность прямой и обратной теорем Дезарга. Обсудить понятие двойственных фигур, привести примеры двойственных фигур.
Темы 5, 6. Линии 2 порядка на проективной плоскости. Проективные преобразования проективных пространств.
Список необходимых сведений.Некоторые свойства линий 2 порядка на проективной плоскости в модели пополненной плоскости.
Проективные преобразования в координатах.
Проективная классификация линий 2 порядка относительно группы проективных преобразований. Связь с аффинной классификацией.
Практические задания
Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.
Решениедля гиперболы.
Рассмотрим каноническое уравнение гиперболы на аффинной плоскости 
, где 
- координаты точек плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2.
Пополним плоскость несобственными точками и на пополненной плоскости рассмотрим проективную однородную систему координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторамиe1 , e2 .
Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами 
. Подставим 
в уравнение гиперболы:
.
Умножив уравнение на 
, получим
Это уравнение гиперболы на пополненной плоскости в однородных координатах.
Аналогично можно получить уравнения других девяти кривых в однородных координатах на пополненной плоскости
Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
Решение
Найдем пересечение гиперболы с бесконечно удаленной прямой. Иными словами, найдем множество бесконечно удаленных точек гиперболы.
Бесконечно удаленная прямая имеет уравнение 
. Следовательно, координаты бесконечно удаленных точек гиперболы удовлетворяют уравнению 
. Решим это уравнение:
Из последних равенств получаем 
Так как мы получили два решения, то гипербола имеет две бесконечно удаленных точки с координатами
Мы использовали тот факт, что числа 
не могут одновременно равняться нулю. Следовательно, 
и можно делить координаты на 
В противном случае бесконечно удаленные точки гиперболы имеют координаты 
, что невозможно.
Напомним, что асимптоты гиперболы имеют уравнения 
Или в общем виде 
Бесконечно удаленные точки асимптот имеют координаты 
Итак, на пополненной плоскости гипербола пересекается с асимптотами в общих бесконечно удаленных точках.
3. Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
Решение.
1) Рассмотрим канонические уравнения эллипса и гиперболы
Запишем их в однородных координатах
Чтобы найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга, перепишем уравнения в более удобном виде
3) Рассмотрим проективное преобразование
,
т.е. 
.
Оно переводит первую кривую в кривую с уравнением
.
Штрихи над координатами означают, что полученная кривая является образом первой кривой. После того как образ получен, штрихи можно не писать. Получим уравнение гиперболы в однородных координатах.
Итак, мы нашли проективное преобразование, переводящее эллипс в гиперболу на пополненной плоскости. Напомним, что это невозможно сделать аффинным преобразованием аффинной плоскости. Это означает, что данные кривые принадлежат одному классу проективно эквивалентных кривых.
4. Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
а) эллипса и параболы,
б) гиперболы и параболы,
в) параллельных и пересекающихся прямых.
Сделать вывод о проективной эквивалентности этих кривых. Вспомнить, почему они не являются аффинно эквивалентными кривыми.
Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
Примеры задач школьного курса, решаемые средствами проективной геометрии можно найти в пособиях из основного списка [3, c.128], [4, c.85], [5, c.86], а также в [19].
Список рекомендуемой литературы
Основной
1.Александров П.С, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.
2.Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968.
3.Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия, ч. 2. – М.: Просвещение, 1976.
4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2 - М.: Просвещение, 1987. -352 с.
5. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. Ч.2. - М.: Просвещение, 1975. – 367 с.
6. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983. – 288 с.
7. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990. – 672 с.
8. Гильберт Д., Кон – Фоссен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981. – 344 с.
9. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. – М.: Мир, 1970.-160 с.
10. Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики. – М.: Издательство ин лит. -1957 -410 с.
11. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969.-283 с.
12. Базылев В.Т., Дуничев К.И. и другие. Сборник задач по геометрии. – М.:Просвещение, 1980 – 238с.
Дополнительный
1. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии. – М.-Л.: Учпедгиз, 1949.
2. Глаголев Н.А. Проективная геометрия, 2-е изд. - М.-Л.: Гостехиздат, 1963.
3. Гильберт Д. Основания геометрии. - М.-Л..: Гостехиздат, 1948.
4. Дорфман А.Г. Оптика конических сечений. – М.: Физматгиз, 1959.
5. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. - М.: Наука, 1978.
6. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970.
7. Заславский А.А. Геометрические преобразования. – М.: МЦНМО, 2003.
8. Кокстер Х.С.М. Действительная проективная плоскость. - М.: Физматгиз, 1959.
9. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966.
10. Коксетер Г.С..М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.
11. Клейн Ф. Высшая геометрия. – М.-Л.: 1939.
12. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М.: Просвещение, 1967.
13. Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. – М.: ГИТТЛ, 1953.
14. Певзнер С.Л. Проективная геометрия. – М.: Просвещение, 1980.
15. Погорелов А.В. Геометрия. - М.: Наука.
16. Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1973.
17. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. – М.: МЦНМО, 2000.
18. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. 4-е изд., доп. – М.: МЦНМО, 2002
19. Розенфельд Б.А. Неэвклидовы геометрии. - М.: 1955.
20. Розенфельд Б.А., Сергеева Н.Д. Стереографическая проекция. – М.: Наука, 1973.
21. Скопец З.А. Конические сечения. Энциклопедия элементарной математики, кн. 5. – М.: Наука, 1966.
22. Смогоржевский А.С. О геометрии Лобачевского. – М.: Гостехиздат, 1956.
23. Четвертухин Проективная геометрия
24. Юнг Дж. В. Проективная геометрия. – М.: 1949.
25. Яглом И.М. Геометрические преобразования, ч.I,2. - М.: Гостехиздат, 1955, ч.II. - М.: Гостехиздат, 1956.
26.Яглом И.М., Атанасян Л.С. Геометрические преобразования. Энциклопедия элементарной математики, кн. 4. – М.: Физматгиз, 1963