Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной
индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС
индукции, создается током в самом контуре. Если ток в
рассматриваемом контуре по каким-то причинам изменяется, то
изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и
собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре
возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца
препятствует изменению тока в контуре.
Собственный магнитный поток Φ, пронизывающий контур или катушку с
током, пропорционален силе тока I:
Φ = LI.
Коэффициент пропорциональности L в этой формуле называется
коэффициентом самоиндукции или индуктивностью катушки. Единица
индуктивности в СИ называется генри (Гн). Индуктивность контура или
катушки равна 1 Гн, если при силе постоянного тока 1 А собственный
поток равен 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
В качестве примера рассчитаем индуктивность длинного соленоида,
имеющего N витков, площадь сечения S и длину l. Магнитное поле
соленоида определяется формулой (см. § 4.17)
B = μ0In,
где I – ток в соленоиде, n = N / e – число витков на единицу длины
соленоида.
Магнитный поток, пронизывающий все N витков соленоида, равен
Φ = B·S·N = μ0n2SlI.
Следовательно, индуктивность соленоида равна
L = μ0n2Sl = μ0n2V,
где V = Sl – объем соленоида, в котором сосредоточено магнитное
поле. Полученный результат не учитывает краевых эффектов, поэтому
он приближенно справедлив только для достаточно длинных катушек.
Если соленоид заполнен веществом с магнитной проницаемостью μ, то
при заданном токе I индукция магнитного поля возрастает по модулю в
μ раз (см. § 4.17); поэтому индуктивность катушки с сердечником
также увеличивается в μ раз:
Lμ = μL = μ0μn2V.
ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке с постоянным значением
индуктивности, согласно формуле Фарадея равна
ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и
скорости изменения силы тока в ней.
Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном
конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по
виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если
включить электрическую лампу параллельно катушке с большой
индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при
размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис.
4.21.1). Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции.
Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи,
является магнитное поле катушки.
Рисунок 4.21.1.
Магнитная энергия катушки. При размыкании ключа K лампа ярко
вспыхивает.
Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в
катушке, выделится в виде джоулева тепла. Если обозначить через R
полное сопротивление цепи, то за время Δt выделится количество
теплоты ΔQ = I2RΔt.
Ток в цепи равен
Выражение для ΔQ можно записать в виде
ΔQ = –LIΔI = –Φ(I)ΔI.
В этом выражении ΔI < 0; ток в цепи постепенно убывает от
первоначального значения I0 до нуля. Полное количество теплоты,
выделившейся в цепи, можно получить, выполнив операцию
интегрирования в пределах от I0 до 0. Это дает
Эту формулу можно получить графическим методом, изобразив на
графике зависимость магнитного потока Φ(I) от тока I (рис. 4.21.2).
Полное количество выделившейся теплоты, равное первоначальному
запасу энергии магнитного поля, определяется площадью изображенного
на рис. 4.21.2 треугольника.
Рисунок 4.21.2.
Вычисление энергии магнитного поля.
Таким образом, энергия Wм магнитного поля катушки с индуктивностью
L, создаваемого током I, равна
Применим полученное выражение для энергии катушки к длинному
соленоиду с магнитным сердечником. Используя приведенные выше
формулы для коэффициента самоиндукции Lμ соленоида и для магнитного
поля B, создаваемого током I, можно получить:
где V – объем соленоида. Это выражение показывает, что магнитная
энергия локализована не в витках катушки, по которым протекает ток,
а рассредоточена по всему объему, в котором создано магнитное поле.
Физическая величина
равная энергии магнитного поля в единице объема, называется
объемной плотностью магнитной энергии. Дж. Максвелл показал, что
выражение для объемной плотности магнитной энергии, выведенное
здесь для случая длинного соленоида, справедливо для любых
магнитных полей.