1. Pamatjēdzienipar
rindām: skaitļu rindas definīcija, rindas parciālsumma,konverģences
definīcija.
Parrindu sauc virknes (a1,a2,a3,...,an,…) locekļu
bezgalīgusummu.
an
— rindasvispārīgais loceklis. Rindas parciālsumma-
Sn=a1+a2+ a3+...+ an. Ja parciālsummaieksistē galīga robeža, kad
n=>∞ tad saka, ka rindakonverģē, pretējā gadījumā rindadiverģē.
Rindu sauc par konverģentu, ja tās parciālsumma virknei ir
galīgarobeža. Šo robežu sauc par konverģentas rindas summu.
Japarciālsummu nav galīgas robežas, tad rindu sauc pardiverģentu.
Diverģentai rindai nav summas. 2.Pozitīvusk. rindu
konverģences nepieciešamā pazīme. Sn=a1+a1+...+ an-1+ an;
Sn-1=a1+a1+...+ an-1; an=Sn — Sn-1;Pieņēmums: rinda
konverģē
; ja
rinda konverģē, tad robeža kad n=>∞ ir 0.
2. Pozitīvu sk. rindu
konverģencespietiekamās pazīmes.
a) Salīdzināšanas
pazīme:
0≤an≤bn, a) ja
rinda
konverģē=>
konverģē. b)
jarinda
diverģē => diverģē. c)
ja
,k≠±∞;k≠0, tad abas
rindas uzvedas vienādi. b)
Dalambērapazīme:
,S1 rinda diverģē, S=1pazīme nedod atbildi. c) Košī
pazīme
, S1 rinda diverģē, S=1 jāņem citapazīme. d) Integrālā
pazīme:
,S=∞,0 rindadiverģē, citādi konverģē.
3. Alternējošās rindas,
Leibnicapazīme, absolūtā un nosacītā konverģē nce.
Rindu sauc par alternējošu, ja jebkuriemrindas blakus locekļiem ir
pretējas zīmes: u1-u2+u3-...+(-1)n-1un+...,kur burti
u1,u2,u3,...apzīmēpozitīvus sk., ir maiņzīmju rindas. Leibnica
pazīme:Maiņzīmju rindakonverģē, ja tās locekļi tiecas uz
nulli, visu laikudilstot pēc absolūtās vērtības. Tādas
rindasatlikumam ir tāsda pati zīme kā pirmajam atmetajam loceklim
untas ir mazāks par to pēc absolūtās vērtības.Rinda konverģē, ja
izpildās divi nosacījumi: 1)
an>an+1,2)
. Absolūtāun nosacītā konverģence: Rinda u1+u2+...+un+…(1) katrā
ziņa konverģē, ja konverģēpozitīva rinda
|u1|+|u2|+...+|un|+... (2), kas sastādīta no dotāsrindas
locekļu absolūtajām vērtībām. Dotāsrindas atlikums pēc absolūtās
vērtībasnepārsniedz atbilstošo rindas (2) atlikumu. Dotās rindas
summa Spēc absolūtās vērtības nepārsniedz rindas (2)summu S’, t.i.,
|S|≤S’. Vienādība ir tikai tad, ja visiemrindas (1) locekļiem ir
viena un tā pati zīme. Definīcijas:Rindu sauc par absolūti
konverģentu, ja konverģē rinda, kassastādīta no tās locekļu
absolūtajāmvērtībām. Rindu sauc par nosacīti konverģentu, jatā
konverģē, bet rinda, kas sastādīta no tāslocekļu absolūtajām
vērtībām, diverģē.
4. Pakāpju rinda, tās
konverģencesintervāls, Ābela teorēma.Par pakāpju rindu saucšāda
veida rindu: a0+a1x+ a2x2+...+anxn+… (1) un arīvispārīgākā veidā:
a0+ a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ ...+an(x-x0)n+…(2), kur x0ir patstāvīgs
lielums. Par rindu (1) saka, katā ir attīstīta pēc x pakāpēm, par
rindu (2), katā attīstīta pēc x-x0 pakāpēm.Konstantes a0, a1,...,
an,… sauc parpakāpju rindas koeficentiem. Pakāpju rinda
vienmērkonverģē vērtībai x=0. Attiecībā uzkonverģenci citos punktos
var rasties trīs gadījumi: a) vargadīties, ka pakāpju rinda diverģē
visos punktos,izņemot x=0. Tāda, piem, ir rinda
x+22x2+33x3+...+nnxn+...,kurai vispārīgais loceklis nnxn=(nx)npēc
absolūtās vērtības neierobežoti aug,sākot ar momentu, kad nx kļūst
lielāks par vienu.Tādām pakāpju rindām praktiskas nozīmes nav.
b)Pakāpju rinda var konverģēt visos punktos. Tāda, piem, irrinda:
1+x+(x2/2!)+ (x3/3!)+...+(xn-1/(n-1)!)+...,kuras summa jebkurai x
vērtībai ir vienāda ar ex. c)Tipiskajā gadījumā pakāpju rinda vienā
punktukopā konverģē, citā-diverģē. Pakāpju rindas:a0+ a1x+
a2x2+...+anxn+…konverģences apgabals ir kāds intervāls (-R;R), kas
irsimetrisks attiecībā pret punktu x=0. Dažreiz tanījāieskaita abi
gali x=R, x=-R, dažreiz tikai viens, bet dažreizabi gali jāizslēdz.
Intervālu (-R;R) sauc par pakāpjurindas konverģences intervālu,
pozitīvo sk. R parkonverģences rādiusu. Ābela teorēma: Ja pakāpju
rindaa0+ a1x+ a2x2+...+anxn+…konverģē (absolūti vai nosacīti) kādā
punktāx0, tad tā konverģē absolūti unvienmērīgi jebkurā slēgtā
intervālā (a,b),kas atrodas intervāla (-|x0|,+|x0|)iekšienē.
5. Funkcijuizvirzīšana
pakāpju rindā. Teilora un Maklorena rinda.
Ja funkciju f(x) var izvirzīt pakāpjurindā a0+ a1(x-x0)+
a2(x-x0)2+...+an(x-x0)n+..., tad izvirzījums irviens vienīgs
un rinda sakrītar Teilora rindu, kas attīstīta pēc x-x0.pakāpēm.
Teilora rinda: Par Teilora rindu (kas attīstītapēc x-x0 pakāpēm)
funkcijai f(x) sauc pakāpjurindu: f(x0)+(f’(x0)/1)(x-x0)+
(f’’(x0)/2!)(x-x0)2+...+(fn(x0)/n!)(x-x0)n+...,ja x0=0, tad Teilora
rindai (attīstītai pēc xpakāpēm) ir izskats: f(0)+(f’(0)/1)x+
(f’’(0)/2!)x2+...+(fn(0)/n!)xn+…Maklorena rinda: Pamatojoties uz
Teilora rindu:
6. Pakāpju rindu
lietojumi.
F-ju vērtības
tuvinātoaprēķināšana:
1+(1/2)+ (1/8)+(1/8*6)+ (1/16*2)+
(1/32*120) ,E=10-3.
Robežu aprēķināšana:x=>0; ex~1+x; sinx~x;
cosx~1-(x2/2); (1+x)2~1+2x;ln(1+x)~x; arctgx~x. Integrāļu
tuvinātaaprēķināšanai:
;
E=10-3;
; Diferenciālvienādojumstuvināta
atvasināšana:
.
7. Furjērinda. Funkciju
izvirzīšana Furjē rindā.
Furjē rinda: f(x)~(a0/2)+a1cosx+ b1sinx+a2cos2x+
b2sin2x+..., ;
.
9. Divkāršāintegrāļa definīcija un aprēķināšana
Dekartakoordinātēs.D: Robeža uz kuru tiecas
summa ,kad
lielākais parciālo apgabalu diametrs tiecas uz nulli,sauc par
divkāršo integrāli no funkcijas f(x,y) pa apgabalu D.Apzīmējums
Apgabalu D, sauc par regulāru pēc x, ja novelkot jebkurāvietā
līniju x=c, tā krusto apgabala D robežu nevairāk, kā 2 reizes.
Vispārregulārs – regulārspēc x un y Aprēķināšana Dekarta
koordinātēs ds=dxdy
10. Divkāršā integrāļaaprēķināšana polārajās
koordinātēs.
f(x,y)=f(rcosj,rsinj)=F(r,j)
DS»Dr*rDjdS=r*dr*dj
11. Divkāršā integrāļa pielietojums.1.plaknesfigūras
lauk. aprēķināšana 2.
Tilpumaaprēķināšana z=z(x,y) 3. Plaknesfigūras(nehomogēnas)
aprēķināšana r=r(x,y) 4. Plaknes figūrasmasas centra
aprēķināšana c(xc,yc) Ioy — statiskais moments attiecībā pret y
asi
12. Trīskāršāintegrāļa definīcija un aprēķināšana Dekartakoor
dinātēs ,lietojumi.D:Pieņemsim, ka punkta P(x,y,z) funkcija
f(x,y,z) ir nepārtrauktatelpas apgabala D iekšienē un uz tā
robežas. Sadalām Dn daļās; to tilpumus apzīmēsim ar Dv1, Dv2,...,
Dvn. Katrādaļā ņemsim punktu un sastādīsim summu Sn=f(x1,y1,z1)Dv1+
f(x2,y2,z2)Dv2+...+f(xn,yn,zn) Dvn. Robežu uz kuru tiecas Sn,
kadlielākais parciālo apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc
parfunkcijas f(x,y,z) trīskāršo integrāli pa apgabalu
D.Aprēķināšana Lietojumi 1. Tilpuma aprēķināšana 2.
Nehomogēnaķermeņa masas aprēķināšana
13. Pirmā veida līnijintegrāļi, toaprēķināšana, lietojumi. 1)
y=y(x), ,ja dota parametriski,tad 14. Otrāveida
līnijintegrāļi, to aprēķināšana,lietojumi. 1) y=y(x), dy=y’dx
,ja dots parametriski,tad , ja līnija L
irnoslēgta, tad Grīna formula Līnijintegrāļu
pielietojums1)darba apr. 2) līnijas lokagarumu apr.
3)masunehomogēnai līnijai apr. 15. Pirmā veida virsmas
integrāļi, toaprēķināšana, lietojumi. ,aprēķinašķidruma
plūsmu caur virsmu 16. Otrā veidavirsmas integrāļi, to
aprēķināšana,lietojumi. aprēķinašķidruma plūsmu
caur virsmu
17.Skalāraislauks. Atvasinājums dotajā virzienā.Ja katraapgabala d
punktam, katrā laika momentā t, pēc noteikta likumapiekārtu
funkciju u, tad saka, ka ir dots skalārs lauks u=u(x,y,z,t)(1)
Ja f-ja nav atkarīga not, tad lauku sauc par stacionāru u=u(x,y,z)
(2) Atvasinājumsdotajā virzienā
u=u(x,y,z) u(M0),u(M) Du= u(M)-u(M0) 18.
Skalāra lauka gradients, tāfizikālā nozīme. Vektoru kura
virzienāskalārā lauka izmaiņas ātrums ir vislielākais, saucpar
skalārā lauka gradientu grad u 19. Vektoru lauks. Vektoru lauka
plūsma, tāfizikālā nozīme. Ja kādā telpas apgabalākatram punktam,
katrā laika momentā t ir piekārtots noteiktsvektoriāls lielums, tad
saka ka ir dots vektoriāls lauks (1)
(2) 20. Vektoru lauka diverģence,tās
fizikālā nozīme. Par vektoru lauka diverģenci saucrobežu no
plūsmas un tilpuma attiecības, kad apgabala diametrstiecas uz
0 (1) (2)
21.Vektoru laukacirkulācija, tās aprēķināšana. Par vektoru
laukacirkulāciju sauc līnijintegrāli pa slēgtu līniju.Vektoru lauka
rotors, tā fizikālānozīme. Par vektoru lauka a rotoru sauc sekojošo
determinantu.
Potenciāls lauks. Vektoru lauku a saucpar potenciālu, ja tas ir
vienāds ar kāda skalārālauka gradientu
25.Stīgas svārstību vienādojums. d2u/dt2=a2*d2u/dx2 –stīgassv.
vien. Atrisinājums
26.Siltumvadīšanasvienādojums. d2u/dt=a2*d2u/dx2 –silt.vad.
vien.
27. Parciālie diferenciālvienādojumi,Košī problēma, Dirihlē
problēma, jaukta veidaproblēma