Шпаргалка по Математическому анализу

Признаки существования предела последовательности

*Если числовая последовательность  монотонна и ограничена, то она имеет предел.

*Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно больших значениях x) функция f(x) заключена между двумя функциями j(x) и y(x), имеющими одинаковый предел A при  (или ), то функция f(x) имеет тот же пр.
Сравнение б.м. и б.б. функций

Две б.м. функций сравниваються между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

Рассмотрим правило сравнения б.м. функций:

*Пусть при х®х0 функции a(х) и b(х) являються б.м., т.е. Lima(х){при х®х0}=0 и Limb(х){при х®х0}=0, тогда Правила:1)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=0, то a(х) – б.м. более высокого порядка, чем b(х). 2)Если Lima(x)/b(х){при х®х0}=А¹0, то a(х) иb(х) – б.м. одного порядка. 3)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=1, то a(х) и b(х) – эквивалентные б.м… Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому 4)Если Lima(х)/ (х){при х®х0}=А¹0, то a(х) – б.м. n-го порядка относительно b(х)

Замечания: Для сравнения б.м. функций, при х®∞, х®+\-∞, х®х0+\-. Существует аналогичное правило.
Замечательные пределы

*1-й замечательный предел.



Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB  через Х.

Пусть 0



Разделим все на и получим:



Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

*2-й замечательный предел.



Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:



Если x→∞, то n→∞, тогда



По признаку о существовании пределов:


Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию  называют непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a,b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

*Теорема утверждает, что если функция  непрерывна на отрезке [a,b], то найдётся хотя бы одна точка  такая, что значение функции  в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: . Аналогично найдётся такая точка , в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: .

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция  принимает наименьшее значение в двух точках  и .

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a,b). Действительно, если рассмотреть функцию  на (0,2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция  непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция  непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a,b] найдётся по крайней мере одна точка , в которой функция обращается в ноль: , где a

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции , соответствующие концам отрезка [a,b] лежат по разные стороны от оси Ох, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ох. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция   непрерывна на отрезке [a,b] и , . Тогда для любого числа С, заключённого между А и В, найдётся внутри этого отрезка такая точка , что .

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции . Пусть , . Тогда любая прямая , где С – любое число, заключённое между А и В, пересечёт график функции по крайней мере в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением , при котором .

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности,

Следствие. Если функция  непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.
Классификация точек разрыва.

Разрывы  функции

1.Точки, где функция f(x) не является непрерывной,  называются точками разрыва функции f(x).

Для классификации точек разрыва рассмотрим предел слева  и предел справа  функции f(x). Тогда  имеет место следующая классификация точек разрыва.

* Устранимый разрыв.

 Он имеет место, когда выполнено условие

.

 В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x0, чтобы разрыва не стало.

* Разрыв первого рода (скачок).

 Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы  и  существуют, конечны, но не равны между собой, то есть .

* Разрыв второго рода.

 Если хотя бы один из  и  равен ¥±или не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 разрыв второго рода.

 Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 – 0) конечен, а f(x0 + 0) равен +¥.
Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®

tga=y`

a®a

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga=y`, a®a)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tgугла наклона касательной, проведенной в точке x.


Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

*Если функция  f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно:  непрерывная функция может не иметь производной.  

*С л е д с т в и е. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р .

Функция  y = | x | ( рис.3 )  всюду непрерывна, но она не имеет производной при  x = 0, так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции. ( Подумайте, почему? )

 


 
Лагранжа




Отношение f(b)-f(a) / b-a  есть угловой коэффициент  секущей АВ, а величина f I(c) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке x=c, следовательно геометрический смысл т. Лагранжа заключается в следующем: на графике y=f(x) найдется точка C(c;f(c)) в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.

СЛЕДСТВИЕ:

Если, производная функции yi=0 на некотором промежутке, то ф-я постоянна на этом промежутке.

Если две ф-ии имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличны друг друга на постоянное слагаемое.

 
Теорема Лагранжа

 Если f(x) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b), то найдется хотя бы одна точка , такая, что f(b)-f(a)=f I(c)(b-a)

*ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Положим в т. Коши φ(x)=x

  

Подставим эти значения в формулу:



 

 Что и требовалось доказать.
Правило Лопиталя
Если  

То f(x) и φ(x) в некоторой окрестности содержат точку x=x0 удовлетворяющую всем условиям т. Коши.

*Предел  отношения функций равен пределу отношения их производных.



при условии, что предел правой части равенства существует.

*Правило Лопиталя применимо и в том случае когда:

Аргумент x стремится к бесконечности

*Если отношение производных f I и φi при  x стрем. к беск. Снова приводит к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞.

При выполнении требуемых условий правило Лопиталя можно использовать повторно.
Признак возрастания и убывания функции.

Если ф-я f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и , то эта ф-я возрастает (убывает) на интервале (a;b).

*Исследование ф-ии на возрастание и убывание:

f(x)=x3-6x2-9x+1

D(f): (+∞;-∞)

f I(x)=3x2-12x+9= 3(x-3)(x-1)



f I > 0

f I

Функция убывает на (1;3)


Признаки существования экстремума

*Необходимое условие экстремума дается теоремой Ферма. Если во внутренней точке x0 функция f(x) имеет локальный экстремум, то в ней .

*Достаточное условие экстремума. Пусть в точке x0 выполнено условие . Найдем первую по порядку старшинства производную, отличную от нуля: . Тогда возможны следующие варианты.

а) n=2m – четное число. Тогда в точке x0 имеет место локальный экстремум, причем если , то в точке x0 – локальный максимум, а если , то в точке x0 – локальный минимум.

б) n=2m+1 – нечетное число. Тогда в точке x0 локального экстремума нет (это – точка перегиба).
Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба

*Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

*Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

*Точка перегиба — точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

*Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная =0

*Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

*Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.
Геометрический смысл дифференциала

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

*Геометрический смысл: дифференциал — изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину Dx



*Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.
Инвариантная форма дифференциала


Пусть y
=
f
(
x
),
x
=
g
(
t
),т.е у- сложная функция.

Тогда dy
=
f
¢
(
x
)
g
¢
(
t
)
dt
=
f
¢
(
x
)
dx.

Видно, что форма записи дифференциала dyне зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формойзаписи дифференциала.ъ

Однако, если х- независимая переменная, то

dx= Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹dx.

Таким образом форма записи dy= f¢(x)Dxне является инвариантной.    продолжение