Вопрос2
ДиаграммаВьенна-Эйлера
А) событие A
Б) Сложение –событие, кот состоит в том, что происходит хотя бы
одно из событий A или B
В) произведениесобытий- А и B одновременно
Г) Дополнение –событие принадлежит к А, но не принадлежит к B
Д) противоположное событию A событие В
Е) Несовместимыесобытия – если они не могут произойти
одноременно
Ж) События образуютполную группу, если хотя бы одно из них
обязательно происходит в результатеиспытания
З) А влечет за собойВ
Вопрос3
Классическаяформула вероятности
Если множествоэлементарных событий Ω={ω1,ω2,…ωN}, конечно и
всеэлементарные события равновозможны, то такая вероятностная схема
носит названиеклассической. В этом случаевероятность Р{А}
наступления события А, состоящего из М элементарных
событий,входящих в Ω, определяется как отношение числа М
элементарных событий,благоприятствующих наступлению события А, к
общему числу N элементарных событий. Эта формула носит
названиеклассической формулы вероятности: Р{А}= M/N.
В частности, согласноклассической формуле вероятности:
Р{ωi }=1/N (i=1,2,…, N)
Р{Ω}= N/N =1
P{Æ}=0/N =0
Комбинаторика, 1) то же, что математический комбинаторныйанализ. 2)
Раздел элементарной математики, связанный с изучениемколичества
комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые
можносоставить из заданного конечного множества объектов
(безразлично, какой природы;это могут быть буквы, цифры, какие-либо
предметы и т.п.). Число размещений. Пусть имеется n различных
предметов. Сколькимиспособами можно выбрать из них т
предметов(учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число
способов равно Anm =? Anm называютчислом размещений из nэлементов
по m. Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов.
Сколькимиспособами можно выбрать из них тпредметов (безразлично, в
каком порядке выбираются предметы)? Число способовтакого выбора
равно Cnm = Cnmназывают числом сочетаний из nэлементов
по m. Числа Cnm получаютсякак коэффициенты разложения n-й степени
двучлена: (a+b) n=Cn0 an + Cn1 an-1b +Cn2an-2b2?+… + Cnn-1abn-1+
Cnnbn, и поэтому они называются также биномиальнымикоэффициентами.
Основные соотношения для биномиальных коэффициентов: Cnm=Cnn-m,Cnm?
+ Cnm+1 = Cn+1m+1, Cn0+ Cn1 + Cn2+...+ Cnn-1+ Cnn =2n, ? Cn0 — Cn1
+ Cn2-...+ (-1) nCnn= 0. Числа Anm, Pmи Cnmсвязаны
соотношением: Anm=Pm Cnm.Рассматриваются также размещения с
повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных
видов, порядок в наборе существен) и сочетания сповторением (то же,
но порядок в наборе не существен). Число размещений сповторением
даётся формулой nm,число сочетаний с повторением — формулой
Cmn+m-1.
Вопрос4
При аксиоматическомпостроении вероятностей в каждом конкретном
пространстве элементарных событий W выделяется s-полесобытий S для
каждого события AÎ S задаетсявероятность P{A} – числовая функция,
определенная на s-поле событий S и удовлетворяющаяследующим
аксиомам.
Аксиоманеотрицательности вероятности для всех A Î S: P{A}³ 0.
Аксиоманормированности вероятности: P{W}=1.
Аксиома адаптивностивероятности: для всех A,BÎS, таких, что AÇB¹Æ:
P{AÈB}=P{A} +P{B}
Вопрос6
1) Условнаявероятность события А при условии В равна
Р(А/B)=P(A*B)/P(B), Р(В)>0.
2) Событие А не зависит от события В, еслиР(А/B)=P(A).
Независимостьсобытий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В,
то событие В не зависитот А. В самом деле при Р(А)>0 имеем
Р(B/A)=P(A*B)/P(A)=P(A/B)*P(B)/P(A)=P(A)*P(B)/P(A)=P(B). Вытекает
следующая формула умножения вероятностей:Р(А*В)=Р(А)*Р(В/A). Для
независимых событий вероятностьпроизведения событий равна
произведению их вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В). 3)События А1, А2,…,
Аn образуют полнуюгруппу событий, если они попарно несовместны и
вместе образуют достоверноесобытие, т.е. Аi*Aj=0, i не=j, U по i от
1 до n Аi=омега.
Вероятностьсовместного появления двух событий равна произведению
вероятности одного из нихна условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что первоесобытие уже наступило:
Р(АВ)=Р(А)*Ра(В). В частности для независимых
событийР(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е. вероятность совместного появления двух
независимыхсобытий равна произведению вероятностей этих
событий.
Вопрос7
Формула полной вероятности.Систему событий А1, А2, ...,AN называют
конечнымразбиением (или просто разбиением), если они попарно
несовместны, а ихсумма образует полное пространство событий: А1 +
А2 +…+ АN =
Если события Аiобразуют разбиение пространства событий и все P(Ai)
> 0, то длялюбого события В имеет место формула полной
вероятности:
P(B)=P(Ak)×P(B/Ak),
что непосредственноследует из (8.2.14) для попарно несовместных
событий:
B = B× = BA1+BA2+...BAN.
P(B) = P(BA1)+P(BA2)+… +P(BAN) =
P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...+P(AN)P(B/AN).
Вопрос8
Формулабаеса
Вопрос9
Вопрос10
Случайной величиной называется числовая величина, которая
врезультате опыта может принять какое-либо значение из некоторого
множества,причем заранее, до проведения опыта, невозможно сказать,
какое именно значениеона примет. Случайные величины обозначают
заглавными латинскими буквами X, Y, Z,..., аих возможные значения —
строчными латинскими буквами х, у, z. Случайная величина называется
дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, и
непрерывной в противном случае. Закономраспределения случайной
величины называется любое соотношение,связывающее возможные
значения этой случайной величины и соответствующие имвероятности.
Закон распределения дискретной случайной величины задается
чащевсего не функцией распределения, арядом распределения, т.е,
таблицей
Х
x1
x2
...
xn
...
P
p1
p1
...
pn
...
В которой x1, x2, ..., xn,… — расположенные по возрастанию
значениядискретной случайной величины X, а р1,р2, ..., рп,… —
отвечающие этим значениям вероятности: pi = Р{Х = хi), i=1, 2, ...,
п, …. Число столбцов в этой таблице может быть конечным (если
соответствующая случайнаявеличина принимает конечное число
значений) или бесконечныи. Очевидно,S pi=1.
Многоугольником распределения дискретной случайной величины X
называется ломаная, соединяющая точки {xi; pi), расположенные в
Порядке возрастания хi.
Вопрос 11
Функциейраспределения случайной величины Х называется функция
FX(x)=P{Xx},xÎR
Под{Xx}понимаетсясобытие, состоящее в том, что случайная величина Х
принимает значение меньшее,чем число х. Если известно, о какой
случайной величине идёт речь, то индекс,обозначающий эту случайную
величину, опускается: F(x)º FX(x).
Какчисловая функция от числового аргумента х, функция распределения
F(x)произвольной случайной величины Х обладает
следующимисвойствами:
1)длялюбого xÎR: 0£ F(x)£ 1
2) F(-¥) = limx®¥ F(x) = 0; F(+¥) = limx®¥ F(x) = 1;
3)F(x)-неубывающаяфункция, т.е.для любых х1, х2 ÎR таких, что
х1F(x1)£ F(x2);
4)длялюбого xÎR: F(x)=F(x-0)=lim zx,z®xF(z).
Вопрос12
Мат. Ожиданием Д.С.В.называют сумму произведений всех
еевозможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn. Если
Д.С.В. принимаетсчетное множество возможных значений, то М(Х)=сумма
по i от 1 до бесконечности xipi, причем мат.ожидание существует,
если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Мат.ожидание
обладает следующими свойствами:1) Мат. ожидание постоянной величины
равно самой постоянной: М(С)=С. 2)Постоянный множитель можно
выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х). 3)Мат. ожидание
произведения взаимно независимых С.В. равно произведению
мат.ожиданий сомножителей: М (Х1, Х2…Хn)=M(X1)*M(X2)…M(Xn). 4) Мат.
ожиданиесуммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых: М
(Х1+Х2+Х3+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+M(X3)+…+M(Xn).
Вопрос13
Дисперсиейслучайной величины хназывается число: DX= M(X-MX)2,
равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной
величины отсвоего математического ожидания. Для вычисления
дисперсии иногда прощеиспользовать формулу: DX=M(X2)-(MX)2. Для
дискретных св:
DX=∑(xi – MX)2 pi;
DX=∑xi2pi – (MX) 2.
Свойствадисперсии дискретной случайной величины:
(X,Y-независимыед.св, с- неслучайная постоянная ÎR)
Dc=0;
D(cX)=c2DX;
D(X+Y)= DX + DY
Вопрос15
Случайная величина Х наз.распределённой погеометрическому
закону с параметром р (рÎ[0;1]), если онапринимает значения 1,2,3…
с вероятностями Р{Х=х}=р(1-р)х-1 (х = 1,2,3…).
Случайнуювеличину Х можно интерпритировать как число испытаний
Бернулли, которыепридётся произвести до первого успеха, если успех
в единичном испытании можетпроизойти с вероятностью р.
Математическоеожидание случайной величины, имеющей геометрическое
распределение: МХ=1/p.
Дисперсия:DX=1-p/p2
Вопрос16
Если число испытанийвелико, а вероятность P повяления события
вкаждом испытнаии очень мала, то используют приближенную
формулу
Pn(k)=l^k*e^(-l/k)
Где k – число появлений события в n независимых испытаниях, l = np
(среднее число появлений события в n независимых испытаниях), и
говорят, что случайнаявеличина распределена по закону Пуассона.
Вопрос 17
С.В. Х называетсянепрерывной, если существует неотрицательная
функция рх(х) такая, что при любыхх функцию распределения Fx(x)
можно представить в виде: Fx(x)=интеграл от–бесконечности до х
px(y)dy. Рассматривают только такие С.В., для которых
рх(х)непрерывна всюду, кроме, может быть, конечного числа точек.
Плотностьюраспределения вероятностей непрерывной С.В. называют
первую производную отфункции распределения: f(x)=F’(x). Вероятность
того, чтоН.С.В. Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b),
определяется равенством P(aXb)=интервал от а до b f(x)dx.
Зная плотность распределения можно найти функциюраспределения
F(x)=интеграл от –бесконечности до х f(x)dx. Плотность
распределения обладает следующимисвойствами: 1) П.Р.
неотрицательна, т.е. f(x)>=0. 2) Несобственный интеграл от
плотностираспределения в пределах от –бесконечности до
бесконечности равен единице:интеграл от –бесконечности до
бесконечности f(x)dx=1.
Вопрос18
Мат. ожидание Н.С.В.Х, возможные значения которой принадлежат всей
оси ОХ, определяется равенством:М(Х)=интеграл от –бесконечности до
бесконечности хf(x)dx, где f(x) — плотность распределения С.В. Х.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. Вчастности, если
все возможные значения принадлежат интервалу (а,b), то
М(Х)=интеграл от а до b xf(x)dx. Все свойства мат.ожидания, указаны
выше, для Д.С.В. Они сохраняются и для Н.С.В.
Дисперсия Н.С.В. Х,возможные значения которой принадлежат всей оси
ОХ, определяется равенством: D(X)=интеграл от –бесконечностидо
бесконечности [x-M(X)]*2f(x)dx, или равносильнымравенством:
D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности x*2f(x)dx –
[M(X)]*2. В частности,если все возможные значения х принадлежат
интервалу (a,b), то D(X)=интервал от а до b [x – M(X)]*2f(x)dx, или
D(X)=интеграл от
Вопрос 19
Моментыраспределения. Прирешении многих практических задач нет
особой необходимости в полнойвероятностной характеристике
каких-либо случайных величин, которую дает функцияплотности
распределения вероятностей. Очень часто приходится также иметь дело
санализом случайных величин, плотности вероятностей которых не
отображаютсяаналитическими функциями либо вообще неизвестны. В этих
случаях достаточно общеепредставление о характере и основных
особенностях распределения случайныхвеличин можно получить на
основании усредненных числовых характеристикраспределений.
Числовымихарактеристиками случайных величин, которые однозначно
определяются функциямираспределения их вероятностей, являются
моменты.
Начальные моменты n-го порядкаслучайной величины X (или просто
моменты) представляют собой усредненныезначения n-й степени
случайной переменной: mn º М{Xn}º xn p(x) dx,где M{Xn} и
математического ожидания иусреднения величины Хn, которые
вычисляются по пространствусостояний случайной величины Х.
Соответственно, дляслучайных дискретных величин: mn ºМ{Xn}º xin
pi.
Центральные моменты n-го порядка, этомоменты относительно центров
распределения (средних значений) случайныхвеличин:
n ºM{(X-n}º 1)n p(x) dx
nº M{(X-n}ºxi-m1)npi, где — начальный момент1-го порядка
(среднее значение величины Х), X0= X- —
центрированныезначения величины Х.
Связь междуцентральными и начальными моментами достаточно
проста:
1=0, 2=m2-m12,
3=m3-3m2m1+2m13, 4=m4-4m1m3+6m12m2-3m14,
и т.д.
Соответственно, дляслучайных величин с нулевыми средними значениями
начальные моменты равныцентральным моментам.
По результатамреализации случайных величин может производиться
только оценка моментов, т.к. количество измерений всегда конечно и
неможет с абсолютной точностью отражать все пространство состояний
случайныхвеличи