В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких
как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные
колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать
свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис.
5.2.1).
Рисунок 5.2.1.
Последовательный RLC-контур.
Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до
напряжения . После переключения ключа в положение 2 начинается
процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку
индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может иметь
колебательный характер.
Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника
тока, записывается в виде
где – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, – ток в
цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции
катушки. Уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре,
может быть приведено к следующему виду, если в качестве переменной
величины выбрать заряд конденсатора q(t):
Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь
электромагнитной энергии (R = 0). Тогда
(*)
Здесь принято обозначение: Уравнение (*) описывает свободные
колебания в LC-контуре в отсутствие затухания. Оно в точности
совпадает по виду с уравнением свободных колебаний груза на пружине
в отсутствие сил трения (ч. I, § 2.2). Рис. 5.2.2 иллюстрирует
аналогию процессов свободных электрических и механических
колебаний. На рисунке приведены графики изменения заряда q(t)
конденсатора и смещения x(t) груза от положения равновесия, а также
графики тока J(t) и скорости груза υ(t) за один период
колебаний.
Рисунок 5.2.2.
Аналогия процессов свободных электрических и механических
колебаний.
Сравнение свободных колебаний груза на пружине и процессов в
электрическом колебательном контуре позволяет сделать заключение об
аналогии между электрическими и механическими величинами. Эти
аналогии представлены в таблице 1.
Электрические величины
Механические величины
Заряд конденсатора
q(t)
Координата
x(t)
Ток в цепи
Скорость
Индуктивность
L
Масса
m
Величина, обратная электроемкости
Жесткость
k
Напряжение на конденсаторе
Упругая сила
kx
Энергия электрического поля конденсатора
Потенциальная энергия пружины
Магнитная энергия катушки
Кинетическая энергия
Магнитный поток
LI
Импульс
mυ
Таблица 1.
В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре
являются гармоническими, то есть происходят по закону
q(t) = q0cos(ωt + φ0).
Параметры L и C колебательного контура определяют только
собственную частоту свободных колебаний
Амплитуда q0 и начальная фаза φ0 определяются начальными условиями,
то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из
состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который
начнется в контуре (рис. 5.2.1) после переброса ключа K в положение
2, q0 = Cε, φ0 = 0.
При свободных колебаниях происходит периодическое превращение
электрической энергии Wэ, запасенной в конденсаторе, в магнитную
энергию Wм катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет
потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается
неизменной:
Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R.
Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется
гармоническому закону. За каждый период колебаний часть
электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в
джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис.
5.2.3).
Рисунок 5.2.3.
Затухающие колебания в контуре.
Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим
колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила
трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: Fтр = – βυ.
Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R в
электрическом контуре. Уравнение свободных колебаний в контуре при
наличии затухания имеет вид
(**)
Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания.
Решением этого дифференциального уравнения является функция
которая содержит множитель exp (–δt), описывающий затухание
колебаний. Скорость затухания зависит от электрического
сопротивления R контура. Интервал времени в течение которого
амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем
затухания.
В § 2.4 части 1 было введено понятие добротности Q колебательной
системы:
где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время
затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы, способной
совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое
определение:
Для RLC-контура добротность Q выражается формулой
Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике,
обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.
Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в
контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше
собственной частоты ω0 идеального контура с теми же значениями L и
C. Но при Q ≥ (5 – 10) этим различием можно пренебречь.