ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ»
ИНСТИТУТ ПЕРЕПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ
(кафедра)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине: Математика
Выполнил:
Специальность: ФиК
Группа: 08306
Проверил: ____________
НОВОСИБИРСК 2010
Задание 1
Выполнить умножение матриц АВ-1С
/>
Решение.
В определитель
/>/>/> 2
-1 1
1 2
-1 =
17
-1 2 2
Допишем к исходной матрицеединичную матрицу справа:
/>/>/> 2
-1 1
1 0
0
1 2
-1
0 1 0
-1 2
2
0 0 1
Вычтем 1-ую строку из всехстрок, которые находятся ниже неё.
Это действие не противоречитпреобразованиям матрицы.
/>/> 2 -1
1 1
0 0
/>
1 2
-1
0 1 0
-1 2
2
0 0 1
Вычтем 2-ую строку из всехнаходящихся ниже неё
/>/>/> 2
-1 1
1 0
0
0 2,5 -1,5
-0,5 1 0
0 1,5 2,5
0,5 0 1
Приведем все коэффициенты наглавной диагонали матрицы к 1. Поделим
каждую строку матрицы на коэффициентэтой строки находящийся на
главной диагонали, если он не равен 1.
Вычтем 3-ю строку из всех, чтовыше неё
/>/>/> 1
-0,5 0
0,38 0,09
-0,15
0
1
0 -0,06
0,29 0,18
0
0
1 0,24 -0,18
0,29
Вычтем 2-ю
/>/>/> 1
0
0 0,35
0,24
-0,06
0
1
0 -0,06
0,29 0,18
0
0
1 0,24 -0,18
0,29
Переместим единичную матрицу изправой части в левую
0,35
0,24 -0,06
обратная матрица
/>
-0,06 0,29
0,18
0,24 -0,18 0,29
1
АВ
А (2×3) и В (3×3) →D (2×3)
D11 = (2)× (0,35) + (-1) × (-0,06) +0× (0,24) = 0,76
D12 = (2)× (0,24) + (-1) × (0,29) +0× (0,18) = 0, 19
D13 = (2)× (-0,06) + (-1) × (0,18) +0× (0,29) = — 0,3
D21 = (1)× (0,35) + (-2) × (-0,06) + (-1) × (0,24) = 0,23
D22 = (1)× (0,24) + (-2) × (0,29) + (-1) × (-0,18) = — 0,16
D23 = (1)× (-0,06) + (-2) × (0,18) + (-1) × (0,29) = — 0,71
D = 0,760,19 — 0,3
0,23 — 0,16 — 0,71
АВ-1С
/>/> 0,35
0,24
-0,06
обратная матрица
-0,06 0,29
0,18
0,24 -0,18 0,29
Е = (2×2)
Е11 = (0,76) × (-2) + (0,19) × (-1) + (-0,3) × (2) = — 2,31
Е12 = (0,76) × (1) + (0,19) × (2) + (-0,3) × (-1) = 1,44
Е21 = (0,23) × (-2) + (-0,16)× (-1) + (-0,71) × (2) = — 1,72
Е22 = (0,23) × (1) + (-0,16)× (2) + (-0,71) × (-1) = 0,62
Ответ:
-2,31
1,44
-1,72 0,62
Задание 2
Решения системы уравнений методомКрамера
/>
Решение.
Главный определитель
/>
Найдем определитель трехдополнительных матриц.
1-й определитель для вычисленияХ1
/>
2-й определитель для вычисленияХ2
/>
3-й определитель для вычисленияХ3
/>
Х1 = Δ1/Δ ≈ 1
Х2 = Δ2/Δ ≈ 2
Х3 = Δ3/Δ ≈ — 2
Задание 3
Теория вероятности (события).
Известно, что курс евро к рублюможет возрасти с вероятностью 0,55,
а курс доллара к рублю может возрасти свероятностью 0,35.
Вероятность того, что возрастут оба курса, составляет 0,3.
Найтивероятность того, что курс евро или доллара по отношению к
рублю возрастёт.
Решение.
Пусть событие А состоит в том,что курс евро по отношению к рублю
возрастет, а событие В в том, что возрастетдоллар.
Тогда:
Р (А) = 0,55; Р (В) = 0,35; Р (АзВ)= 0,3
Вероятность того, что курс евроили доллара по отношению к рублю
возрастет по теореме сложения вероятностейсоставляет:
Р (АиВ) = Р (А) +Р (В) — Р (АзВ)= 0,55+0,35-0,3 = 0,6
Задание 4
Теория вероятности (события).
В специализированную больницупоступают в среднем 70% больных с
заболеванием К, остальные — с заболеванием М.Вероятность полного
излечения болезни К равна 0,8, а болезни М равна 0,9.
Больной,поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова
вероятность того, что онболел болезнью К?
Решение.
Пусть А событие состоящее в том,что выписанный болел болезнью К, а
В — гипотеза, что он болел М.
70+30 = 100;
Р (В) = 30/100 = 0,3;
Р (А) = 70/100 = 0,7
Р = 0,3×0,9+0,7×0,8= 0,27+0,56 = 0,83
Ответ: вероятность, чтозаболеваемость К = 0,83.
Задание 5
Теория вероятности (случайныевеличины).
В ящике 12 белых и 18 черныхшаров. Составить закон распределения
количества белых шаров среди четырех,вынутых наугад. Построить
многоугольник распределения. Найти математическоеожидание и
дисперсию случайной величины.
Решение.
Р бел = 12/30 = 0,4;
Р черн = 18/30 = 0,6;
S =0,4+0,6 = 1;
М (х) = (0,4) × (12) + (0,6)× (18) = 15,6;
2
2
2
2
D (х) =(0,4)×(12)+(0,6)×(18)- М(х) = 252-(15,6) = 8,64;
D(х) = 8,64Задание 6
Математическая статистика.
Для 40 магазинов одной торговойсети, находящихся в разных
населенных пунктах, определена стоимость корзиныпродуктов первой
необходимости (в рублях): 125,2 120,2 131,3 121,6 107,8 143,8 111,5
124,8 117,3 127,5 114,6 118,2 128,7 115,6 109,1 119,8 125,9 112,3
119,6 125,7 104,4 123,9 118,1 123,7 110 114,6 115,2 111,4 113,2
102,6 112,1 109,4 113 114,5 109,5 125,9 120,2 148 114,7 109,7
Построить интервальнуюгруппировку данных по шести интервалам равной
длины и соответствующуюгистограмму. Найти среднюю стоимость корзины
и исправленную дисперсию длявыборки. Построить доверительные
интервалы надежности 95% и 99% для стоимостипродуктовой
корзины.
Решение.
Генеральная совокупность — всепредставители = 40 магазинов одной
сети.
Выборочная совокупность:
(102,6→104,4→107,8→109,1→109,4→109,5→109,7→110)→
(111,4→111,5→112,1→112,3→113→113,2→114,5→114,6→114,6→114,7→115,2→115,6→117,3)→118,1→118,2→119,6→119,8→120,2→120,2→121,6→123,7→123,9→124,8→125,2)→
(125,7→125,9→125,9→127,5→128,7→131,3) →(143,8→148)
n = 40 — объем совокупности
когда изменчивость высокаясоздают искусственный шаг между классами,
он называется классовый промежуток,
К = max — min / 6 = 7,6 — классовыйинтервальный промежуток.
интервал Xi (полусумма между началом и концом интервала) F
(частота)
102,6 — 110,2
110,3 — 117,8
117,9 — 125,4
125,5 — 133
133,1 — 140,6
140,7 — 148,2
106,114,05
121,65
129,25
136,85
144,45
8
13
11
6
2
/>
Хср = ∑х/n,
Если данные собраны ввариационный ряд, то среднее можно получить
как:
Хср = FXi / n =
8×106,4+13×114,05+11×121,65+6×129,25+0×136,85+2×144,45/ 40 = 118,4,
Х ср = 118,4.
2 2
2 2
2
2 2
2
S = ∑FXi - (∑FXi) / n =
8×106,4+13×114,05+11×121,65+6×129,25+0×136,85+2×144,45 -
2
— 1 / n(8×106,4+13×114,05+11×121,65+6×129,25+0×136,85+2×144,45)=
564414,84 – 560837,124 = 3577,7;
S = 3577,7.
2
Варианта = S / n-1;
2
Вар. = √Вар, Вар.=
√3577,7 / 39 = 9,6;
Доверительный интервал — границыпрогноза
Хср — t× вар. / √n
По таблице:
Для n =40 при вероятности р = 0,95 значение t- критерия Стьюдента =
2,022;
При р = 0,99, t= 2,708
Для р = 0,95:
118,4 — 2,022 × 9,6/√40118,4 ± 3,1,Для р = 0,99:
118,4 — 2,708 × 9,6/√40118,4 ± 4,1
Задание 7
Решить задачу линейногопрограммирования.
/>
Решение.
Избавимся от неравенств введя вограничения 1,2,3 неотрицательные
балансовые переменные S1,S2,S3.
2Х1 + Х2 + S1= 4
Х1 + 2Х2 + S2= 6
Х1 + Х2 + S3= 3
Х1, Х2,S1,S2,S3 ≥ 0
Ищем в системе ограниченийбазисные переменные, это переменные,
которые входят только в одно уравнениесистемы ограничений и притом
с единичным коэффициентом.
Из последней системы ограниченийможно выделить базисные переменные
S1,S2,S3.
Теперь мы можем сформироватьначальную симплекс-таблицу (расширенная
матрица системы ограничений снекоторыми дополнительными столбами и
строками.
Базисная
переменная Х1 Х2 S1 S2 S3 Решение Отношение S1 2 1 1 4 4/2 = 2 S2 1
2 1 6 6/1 = 6 S3 1 1 1 3 3/1 = 3 Q 3 2 -------
Разрешающий столбец выбираем по max положительному коэффициенту
строки Q,он соответствует переменной Х1 — она будет введена в базис
в последующейитерации. (Итерация — одно из ряда повторений
какой-либо математическойоперации, использующее результат
предыдущей аналогичной операции)
Разрешающая строка выбирается поmin из всех отношений, у нас она
соответствует БП Х3,именно она будет выведена из базиса, её место
займет Х1.
Для всех таблиц пересчетэлементов таблицы делается аналогично,
поэтому мы его опускаем.
Последняя итерация выглядитследующим образом:
Базисная
переменная Х1 Х2 S1 S2 S3 Решение Отношение S2 1 1 -3 1 ------- Х1
1 1 -1 1 ------- Х2 1 -1 2 2 ------- Q 1 1 7 -------
Ответ: Оптимальное значение Q (X) = 7 достигается в точке с
коэффициентамиХ1 = 1; Х2 = 2.