Содержание
Ведение
1.Оператор Лапласа
2.Уравнение Лапласа вдвумерном пространстве
3.Уравнение Лапласа вслучае пространственных переменных
4.Решение задачи Дирихлев круге методом Фурье
Заключение
Список литературы
лаплас уравнение трехмерный пространство
Введение
Пьер-Симо́нЛаплас ( 23 марта 1749 — 5 марта 1827) — выдающийся
французский математик, физики астроном; известен работами в области
небесной механики, дифференциальных уравнений,один из создателей
теории вероятностей. Заслуги Лапласа в области чистой и
прикладнойматематики и особенно в астрономии громадны: он
усовершенствовал почти все отделыэтих наук. Был членом Французского
Географического общества.
При решении прикладныхзадач Лаплас разработал методы математической
физики, широко используемые и в нашевремя. Особенно важные
результаты относятся к теории потенциала и специальным функциям.Его
именем названо преобразование Лапласа и уравнение Лапласа. Он
далеко продвинул линейнуюалгебру; в частности, Лаплас дал
разложение определителя по минорам.
Лаплас расширили систематизировал математический фундамент теории
вероятностей, ввёл производящиефункции. Первая книга «Аналитической
теории вероятностей» посвящена математическимосновам; собственно
теория вероятностей начинается во второй книге, в применениик
дискретным случайным величинам. Там же — доказательство предельных
теорем Муавра—Лапласаи приложения к математической обработке
наблюдений, статистике народонаселения и«нравственным наукам».
Лаплас развилтакже теорию ошибок и приближений методом наименьших
квадратов.
1.ОператорЛапласа
Оператор Лапласа- дифференциальный оператор,действующий в линейном
пространстве гладких функций и обозначаемый символом />. Функции
F он ставит в соответствие функцию
/>
Оператор Лапласаэквивалентен последовательному взятию операций
градиента и дивергенции.
Градиент— вектор,показывающий направление наискорейшего возрастания
некоторой величины, значениекоторой меняется от одной точки
пространства к другой (скалярного поля). Например,если взять в
качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиентв
каждой точке поверхности будет показывать «направление самого
крутого подъёма».Величина (модуль) вектора градиента равна скорости
роста в этом направлении. Для случая трёхмерного
пространства,градиентом называется векторная функция с компонентами
/>, где /> — некоторая скалярная функциякоординат x,y,z.
Если /> - функция n переменных /> то ее градиентом
называетсяn-мерный вектор
/>
Компоненты которогоравны частным производным /> по всемее
аргументам. Градиент обозначается grad/>, или с использованием
операторанабла, />
Из определенияградиента следует, что:
/>
Смысл градиенталюбой скалярной функции f в том, что его скалярное
произведение с бесконечно малымвектором перемещения /> дает
полный дифференциалэтой функции при соответствующем изменении
координат в пространстве, на которомопределена f, то есть линейную
(в случае общего положения она же главная) частьизменения f при
смещении на />. Применяяодну и ту же букву для обозначения
функции от вектора и соответствующей функцииот его координат, можно
написать:
/>
Стоит здесь заметить,что поскольку формула полного дифференциала не
зависит от вида координат x i, тоесть от природы параметров x
вообще, то полученный дифференциал является инвариантом,то есть
скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx — это
вектор, то градиент,вычисленный обычным образом, оказывается
ковариантным вектором, то есть вектором,представленным в дуальном
базисе, какой только и может дать скаляр при простом
суммированиипроизведений координат обычного (контравариантного), то
есть вектором, записаннымв обычном базисе.
Таким образом,выражение (вообще говоря — для произвольных
криволинейных координат) может бытьвполне правильно и инвариантно
записано как:
/>
Или опуская поправилу Эйнштейна знак суммы,
/>
Дивергенция —дифференциальный оператор, отображающий векторное поле
на скалярное (то есть операциядифференцирования, в результате
применения которой к векторному полю получаетсяскалярное поле),
который определяет (для каждой точки), «насколько расходится
входящееи исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее
— насколько расходятсявходящий и исходящий поток).
Если учесть, чтопотоку можно приписать алгебраический знак, то нет
необходимости учитывать входящийи исходящий потоки по отдельности,
всё будет автоматически учтено при суммированиис учетом знака.
Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:
дивергенция —это дифференциальный оператор на векторном поле,
характеризующий поток данного полячерез поверхность малой
окрестности каждой внутренней точки области определенияполя.
Оператор дивергенции,применённый к полю F, обозначают как
/>
или
/>
Определение дивергенциивыглядит так:
/>
где ФF — потоквекторного поля F через сферическую поверхность
площадью S, ограничивающую объёмV. Ещё более общим, а потому
удобным в применении, является определение, когда формаобласти с
поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным
требованиемявляется её нахождение внутри сферы радиусом,
стремящимся к нулю. Это определение,в отличие от приводимого ниже,
не привязано к определённым координатам, например,к декартовым, что
может представлять дополнительное удобство в определённых
случаях.(Например, если выбирать окрестность в форме куба или
параллелепипеда, легко получаютсяформулы для декартовых координат,
приведённые в следующем параграфе).
/>
таким образомзначение оператора Лапласа в точке может быть
истолковано как плотность источников(стоков) потенциального
векторного поля gradF в этой точке. В декартовойсистеме координат
оператор Лапласа часто обозначается следующим образом /> то
есть в видескалярного произведения оператора набла на себя.
2.УравнениеЛапласа в двумерном пространстве
При исследованиистационарных процессов различной физической природы
(колебания, теплопроводность,диффузия и др.) обычно приходят к
уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространеннымуравнением
этого типа является Уравнение Лапласа />
где />
где u(х, у, z)— функция независимых переменных х, у, z. Названо по
имени французского учёногоП. Лапласа, применившего его в работах по
тяготению (1782). К уравнению Лапласаприводят многие задачи физики
и механики, в которых физическая величина являетсяфункцией только
координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал
силтяготения в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал
электростатическогополя — в области, не содержащей зарядов,
температуру при стационарных процессахи т. д. Функции, являющиеся
решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими.Уравнение
Лапласа— частный случай Пуассона уравнения. Оператор называется
операторомЛапласа.
Функция U называетсягармонической в области T, если она непрерывна
в этой области вместе со своими производнымидо 2-го порядка и
удовлетворяет уравнению Лапласа.
При изучении свойствгармонических функций были разработаны
различные математические методы, оказавшиесяплодотворными и в
применении к уравнениям гиперболического (например,
уравнениеколебаний струны) и параболического типов (например,
уравнение теплопроводности).Мы будем искать решение краевых задач
для простейших областей методом разделенияпеременных. Решение
краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено
методомразделения переменных в случае некоторых простейших областей
(круг, прямоугольник,шар, цилиндр и др.). Рассмотрим некоторые из
них.
Трехмерное уравнение– Лапласа
Трехмерное уравнениеЛапласа часто встречается в теории тепло — и
массопереноса, гидро и аэромеханике,теории упругости,
электростатике и других областях механики и физики. В теории тепло-
и массопереноса оно описывает стационарное распределение
температуры при отсутствииисточников тепла в рассматриваемой
области.
Для трехмерногоуравнения Лапласа существуют также координаты,
допускающие 7 -разделение переменных.
Замечательно,что и для трехмерного уравнения Лапласа может быть
построен интегральный операторс аналогичным свойством.
Координаты х,у, z, допускающие решения с — разделенными
переменными. Трехмерное уравнение Пуассона,как и трехмерное
уравнение Лапласа, часто встречается в теории тепло — и
массопереноса,гидро — и аэромеханике, теории упругости,
электростатике и других областях механикии физики. Оно описывает
стационарное распределение температуры при наличии источников( или
стоков) тепла в рассматриваемой области.
Компонента / ZQOдолжна даваться скалярным решением трехмерного
уравнения Лапласа.
Компонента / IQOдолжна даваться скалярным решением трехмерного
уравнения Лапласа.
Показать, чтоесли ф ( г) — решение трехмерного уравнения Лапласа,
то и ф ( г) Ц — 1 — также решение.
Задача в этомслучае может быть решена классическим методом
построения функций Грина для трехмерногоуравнения Лапласа, но
вследствие малости поперечных размеров капиллярной трубкипо
сравнению с длиной и высокой проводимости металла можно считать
окружность поперечногосечения трубки эквипотенциальной с
достаточной точностью в пределах разрешающейспособности приборов.
Поэтому целесообразно сразу принять допущение о
цилиндрическойсимметрии объекта и решать задачу более просто с
построением соответствующего
интегро-дифференциальногоуравнения.
Задача в этомслучае может быть решена классическим методом
построения функций Грина для трехмерногоуравнения Лапласа, но
вследствие малости поперечных размеров капиллярной трубкипо
сравнению с длиной и высокой проводимости металла можно считать
окружность поперечногосечения трубки эквипотенциальной с
достаточной точностью в пределах разрешающейспособности приборов.
Поэтому целесообразно сразу принять допущение о
цилиндрическойсимметрии объекта и решить задачу более просто с
построением соответствующего
интегро-дифференциальногоуравнения.
Сеточные моделииспользуются для решения краевых задач, описываемых
двух — или даже трехмернымиуравнениями Лапласа, Гельмгольца или
Фурье.
После растяжкивертикальной координаты в раз поставленная задача в
общем случае сводится к решениютрехмерного уравнения Лапласа для
потенциала скорости ф и не имеет аналитическогорешения. Чтобы
получить приближенную формулу для дебита горизонтальной скважины,в
работе используется известный в подземной гидромеханике прием:
трехмерная задачафильтрации заменяется двумя плоскими задачами.
Множество инженерныхзадач, связанных, в частности, с медленным
стационарным обтеканием корпуса корабля,стационарной фильтрацией
подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита,а также
стационарного электрического поля в окрестности фарфорового
изолятора илизаглубленного в землю электрического кабеля
переменного поперечного сечения, сводитсяк решению трехмерных
уравнений Лапласа или Пуассона.
Такие функцииназываются гармоническими; из них нужно выбрать те,
которые удовлетворяют граничнымусловиям задачи. Поэтому
целесообразно создать возможно больший запас гармоническихфункций,
различные сочетания которых, а часто и каждая в отдельности, могут
соответствоватьзадачам, имеющим важное практическое значение.
Наиболее простые частные решенияуравнения Лапласа можно получить,
предположив, что потенциал Ф зависит только отодной координаты.
Такое предположение означает, что трехмерное уравнение Лапласав
частных производных распадается в некоторых системах координат на
три одномерныхдифференциальных уравнения, каждое из которых равно
нулю. При этом можно руководствоватьсяпервым следствием из теоремы
единственности: электростатическое поле между
двумяравнопотенциальными поверхностями и гармоническая функция,
описывающая это поле,не изменяется, если эти поверхности сделать
границами проводников, которым сообщенысоответствующие
потенциалы.
В заключение заметим,что развитая методика построения равномерно
пригодного решения для задачи входатонкого пространственного тела в
жидкость ( разд. В частности, при наличии изломапередней кромки
методика непригодна. Так, на дозвуковом режиме входа
пространственноготела в жидкость характеристики линейного (
внешнего) решения задачи имеют логарифмическуюособенность в носике
тела при стремлении к нему точки поля возмущенного теченияпо любому
направлению. Поэтому внутренние переменные в этом случае необходимо
вводитьпо всем трем декартовым координатам x y z, что приведет к
внутренней задаче длятрехмерного уравнения Лапласа с
соответствующими краевыми условиями на поверхностипространственного
тела в окрестности носика.
Однако остаютсяиные задачи, имеющие также весьма серьезное
значение, которые отличаются вполнеопределенным пространственным
характером. Так, если скважина, вскрывшая продуктивныйпесчаник,
полностью не проходит сквозь него, то течение в той части
песчаника, котораяне вскрыта забоем скважины, будет иметь компонент
скорости, направленный вверх ивлекущий жидкость в скважину. По
отношению к общим методам решения пространственныхзадач следует
заметить, что все те методы, которые были рассмотрены нами в
приложениик плоским системам, за исключением только одного из них,
имеют свои аналоги в томслучае, когда в систему включается третья
координата. Только метод сопряженных функцийне имеет своего аналога
для случая трехмерного уравнения Лапласа. Все же для
решенияпрактических задач мы находим, что имеющиеся в нашем
распоряжении методы вполнедостаточны для получения искомых
результатов. Численные методы решения — методы,заменяющие исходную
краевую задачу дискретной задачей, содержащей конечное числоN
неизвестных, нахождение которых с соответствующей точностью
позволяет определитьрешение исходной задачи с заданной точностью
/> ;N зависит от /> и стремится к /> при
/>.
3.УравнениеЛапласа в случае пространственных переменных
/> имеет вид
/>
Краевые задачидля уравнения Лапласа являются частными случаями
краевых задач для уравнения Пуассонаи более общих уравнений
эллиптического типа, а численные методы решения краевыхзадач для
уравнений эллиптического типа содержат в себе многие численные
методыдля уравнения Лапласа. Специфика уравнения Лапласа позволяет
конструировать и использоватьметоды, обладающие существенно лучшими
характеристиками, чем методы для более общихуравнений, хотя на
практике часто этим возможностям предпочитают простоту
реализацииметода на ЭВМ.
Основными численнымиметодами для уравнений эллиптического типа
являются: вариационно-разностные методы(проекционно-разностные,
методы конечных элементов) и разностные методы (методысеток). Оба
класса методов связаны с аппроксимацией исходной области
/> некоторой сеточной областью/> содержащей N узлов
сетки, ипостроением системы алгебраических уравнений
/>
относительно значенийфункции, определяемой в этих узлах. В
вариационно-разностных методах, являющихсяспециальными случаями
вариационных и проекционных методов, используется идея
аппроксимациирассматриваемого пространства функций, содержащего
решение исходной задачи, некоторымиспециальными конечномерными
подпространствами с заданными базисными функциями, ав системе (*)
вектор /> состоит из коэффициентовразложения получаемой
аппроксимации искомого решения по выбранному базису. В
предположении,что решение исходной задачи в ограниченной области W
на плоскости имеет вид
/>
где /> - пространствоСоболева, а функции /> заданы
и отражают асимптотическоеповедение и (х) вблизи особых точек
(угловых точек границы, точек перемены типаграничного условия), для
многих типов областей /> исмешанных краевых задач эти
методы позволяют, например, найти решение u (х) с точностьюe в
/> при затратеарифметических действий, а в ряде более
частных случаев оценки вычислительной работыуменьшаются до
/>
4.Решениезадачи Дирихле в круге методом Фурье
Найти функциюU, удовлетворяющую уравнению:
/> внутри круга
И граничному условию
/> на границе круга,
Где /> — заданная функция, /> — полярный угол.
/>
Введем полярнуюсистему координат /> с началом в
центрекруга.
/> — полярные координаты.
Уравнение (1)в полярных координатах имеет вид
/>
Решим уравнениеметодом разделения переменных, то есть будем искать
частное решение уравнения (1),вида
/>
Подставляя предполагаемуюформу решения в уравнение (3), получим
/>
/>
/>
Отсюда получимдва обыкновенных дифференциальных уравнения:
/>
Определим знак/>:
1 случай. Пусть /> например />
Рассмотрим уравнение(5)
/>
Характеристическоеуравнение имеет вид
/>
/>
Это решение неподходит, так как при изменении угла /> на
величину/> однозначная функция /> должна вернуться
к исходномузначению /> (условие периодичности).
Отсюда следует,что /> является периодической функциейугла
/> с периодом />.
2 случай Пусть />, тогда
/>
/> - это решение подходит дляуравнения (5) системы при
условии, что А=0.
Рассмотрим уравнение(4) системы:
/>
Пусть />, тогда:
/>
Таким образом,получаем: /> — решение уравнения в
общемслучае.
3 случай Пусть />.
Решение уравнения(5):
/> причем q/>.
Рассмотрим уравнение(4) системы:
/>
Функцию /> будем искать в виде />
Подставим /> в уравнение (4):
/>
/>
Следовательно,/> — решениеуравнения, где C и D-постоянные. Для
решения внутренней задачи надо положить />, так как, если />,
то функция /> обращается в бесконечностьпри />и не
является гармоническойфункцией внутри круга. Итак, частные решения
нашей задачи найдены:
/>,
/>
вид общего решения.
Удовлетворим краевомуусловию:
/>
Считая, что/> задана как функция угла />, возьмем ее
разложение в рядФурье
/>
Подставляя выражениядля коэффициентов Фурье в формулу (6) и меняя
порядок суммирования и интегрирования,получим
/>
Произведем следующиетождественные преобразования:
/>
/>
Подставляя полученныйрезультат в равенство (8), получаем:
/>
интегральная формула,дающая решение задачи.
/>
Ядро Дирихле.
Заключение
Таким образомрешения уравнения Лапласа очень гладкие они не имеют
шишки максимумами или минимумамив R и, по сути «интерполировать»
плавно между их значениями на границахР. Докажем это важный факт,
как применение теоремы о дивергенции.
Этот результаттакже следует, что если мы знаем, дивергенция вектора
V и его ротора во всем мире,эти дифференцируемы всюду, и V
обращается в нуль на бесконечности, то V определяетсяоднозначно.
Доказательство окна (если есть два решения V и V 'с тем же
дивергенцияи ротор, то на применении двойных поперечных личность
продукт, который мы находим,что каждая компонента их разность
подчиняется по уравнению Лапласа всюду. Его значениенигде, то его
среднее значение по окружности на бесконечности, которая равна 0
попредположению. огромный же вывод справедлив, если V и V «должны
вести себяна бесконечности таким же образом, так что V — V 'к 0 для
больших аргументов.
Список использованной литературы
1.Эдвард Ч.Г., Пенни Д.Э.Дифференциальные уравнения и краевые
задачи: моделирование и вычисление с помощьюMathematica, Maple и
MATLAB. 3-е изд.-М.ООО „И.Д. Вильямс“, 2008.-1104с.
2. Гантмахер Ф.Р. математическийанализ, 3-е изд.-М.: Наука,
1967.
3. Еругин Н.П. Линейные системыобыкновенных дифференциальных
уравнений. — Минск, 1963.
4. Кручкович Г.И., МордасовГ.М., Сулейманова Х.Р. и др. Сборник
задач и упражнений по специальным главам высшейматематики. Учебное
пособие для втузов. М., „Высшая школа“, 1970 г.